Номер 7, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

7. Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) пересекаются в точке $O$, $AO = 15 \text{ см}$, $OC = 5 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$. Найдите среднюю линию трапеции.

а) 18 см; б) 24 см;

в) 32 см; г) 16 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, которые образуются при пересечении диагоналей трапеции $ABCD$ в точке $O$.

Поскольку в трапеции основания параллельны ($BC \parallel AD$), то:
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle BCO = \angle DAO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{OC}{AO} = \frac{BC}{AD}$

Подставим в эту пропорцию известные из условия задачи значения: $AO = 15$ см, $OC = 5$ см, $BC = 8$ см.
$\frac{5}{15} = \frac{8}{AD}$

Упростим левую часть равенства и найдем длину второго основания $AD$:
$\frac{1}{3} = \frac{8}{AD}$
$AD = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме длин ее оснований. Обозначим длину средней линии буквой $m$.
$m = \frac{BC + AD}{2}$

Теперь вычислим ее значение:
$m = \frac{8 + 24}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.