Номер 10, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

10. Две окружности радиусами $R = 9$ и $r = 4$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно касаются друг друга внешним образом, а также общей внешней касательной в точках $A$ и $B$. Найдите площадь треугольника $O_1MO_2$, где $M$ — середина отрезка $AB$.

а) 6;

б) 12;

в) 24;

г) 10.

Для решения задачи рассмотрим геометрическую конфигурацию, описанную в условии.

Даны две окружности, касающиеся внешним образом. Радиус первой окружности $R=9$ (центр в $O_1$), радиус второй $r=4$ (центр в $O_2$).

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = R + r = 9 + 4 = 13$.

$AB$ — общая внешняя касательная, где $A$ и $B$ — точки касания. Отрезки $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами, проведенными в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной $AB$.

$O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$.

Следовательно, $O_1A \parallel O_2B$, и фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A=9$ и $O_2B=4$.

1. Решение задачи в точном соответствии с условием

Требуется найти площадь треугольника $O_1MO_2$, где $M$ — середина отрезка $AB$.

Найдем длину отрезка $AB$. Для этого проведем из центра меньшей окружности $O_2$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке $C$. Получим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 13$.
• Катет $O_1C = O_1A - O_2B = R - r = 9 - 4 = 5$.
• Катет $O_2C$ равен по длине отрезку $AB$.

По теореме Пифагора:

$AB^2 = O_2C^2 = O_1O_2^2 - O_1C^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.

$AB = \sqrt{144} = 12$.

Площадь треугольника $O_1MO_2$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Выберем в качестве основания отрезок $O_1O_2$. Тогда нам нужно найти высоту $h_M$, проведенную из точки $M$ на прямую $O_1O_2$.

Пусть $N$ — середина отрезка $O_1O_2$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции, соединяющая середины непараллельных сторон $AB$ и $O_1O_2$. Длина средней линии равна полусумме оснований и она параллельна им.

$MN = \frac{O_1A + O_2B}{2} = \frac{9+4}{2} = 6.5$.

Так как $MN \parallel O_1A$ и $O_1A \perp AB$, то $MN \perp AB$.

Рассмотрим угол $\beta = \angle CO_1O_2$ в прямоугольном треугольнике $O_1CO_2$.

$\sin(\beta) = \frac{O_2C}{O_1O_2} = \frac{AB}{O_1O_2} = \frac{12}{13}$.

Поскольку $MN \parallel O_1A$ (и $O_1C$), то угол между отрезком $MN$ и прямой $O_1O_2$ равен углу $\beta$.

Высота $h_M$ из точки $M$ на прямую $O_1O_2$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного отрезком $MN$, высотой $h_M$ и проекцией $MN$ на прямую $O_1O_2$.

$h_M = MN \cdot \sin(\beta) = 6.5 \cdot \frac{12}{13} = \frac{13}{2} \cdot \frac{12}{13} = 6$.

Теперь найдем площадь треугольника $O_1MO_2$:

$S_{O_1MO_2} = \frac{1}{2} \cdot O_1O_2 \cdot h_M = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$.

Полученный ответ 39 не совпадает ни с одним из предложенных вариантов (а) 6; б) 12; в) 24; г) 10). Это может указывать на опечатку в условии задачи или в вариантах ответов.

Ответ: Площадь треугольника $O_1MO_2$ равна 39.

2. Решение задачи с учетом возможной опечатки в условии

Предположим, что в условии задачи допущена опечатка, и вместо точки $M$ (середины $AB$) имелась в виду точка $B$ (точка касания второй окружности). Найдем площадь треугольника $O_1BO_2$.

Выберем в качестве основания треугольника $O_1BO_2$ сторону $O_1O_2$, длина которой равна $13$.

Высотой $h_B$ будет перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $O_1O_2$.

Для нахождения $h_B$ рассмотрим пересечение касательной $AB$ с линией центров $O_1O_2$. Пусть они пересекаются в точке $P$. Треугольники $\triangle PO_1A$ и $\triangle PO_2B$ подобны (по двум углам: общий угол при вершине $P$ и прямые углы $\angle PAO_1$ и $\angle PBO_2$).

Из подобия следует:

$\frac{PO_2}{PO_1} = \frac{O_2B}{O_1A} = \frac{r}{R} = \frac{4}{9}$.

Так как $PO_1 = PO_2 + O_1O_2 = PO_2 + 13$, получаем:

$\frac{PO_2}{PO_2 + 13} = \frac{4}{9}$

$9 \cdot PO_2 = 4 \cdot (PO_2 + 13)$

$9 \cdot PO_2 = 4 \cdot PO_2 + 52$

$5 \cdot PO_2 = 52 \implies PO_2 = 10.4$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle PO_2B$ (угол $\angle PBO_2 = 90^\circ$):

$\sin(\angle BPO_2) = \frac{O_2B}{PO_2} = \frac{4}{10.4} = \frac{40}{104} = \frac{5}{13}$.

Теперь найдем длину отрезка $PB$ по теореме Пифагора:

$PB = \sqrt{PO_2^2 - O_2B^2} = \sqrt{10.4^2 - 4^2} = \sqrt{108.16 - 16} = \sqrt{92.16} = 9.6$.

Высота $h_B$ треугольника $O_1BO_2$ из вершины $B$ на основание $O_1O_2$ равна $PB \cdot \sin(\angle BPO_2)$.

$h_B = 9.6 \cdot \frac{5}{13} = \frac{96}{10} \cdot \frac{5}{13} = \frac{96 \cdot 5}{10 \cdot 13} = \frac{48}{13}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $O_1BO_2$:

$S_{O_1BO_2} = \frac{1}{2} \cdot O_1O_2 \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{48}{13} = \frac{48}{2} = 24$.

Этот результат совпадает с вариантом ответа в).

Ответ: 24.