Номер 4, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 25 см, катет AC равен 24 см. Найдите:

а) $ \sin A $;

б) $ \cos A $;

в) $ \operatorname{tg} B $;

г) $ \operatorname{ctg} B $;

д) $ \operatorname{tg} B \cdot \operatorname{ctg} B $;

е) $ \sin^2 A + \cos^2 A $.

Дано: прямоугольный треугольник $ABC$. Так как $AB$ – гипотенуза, то прямой угол – $\angle C = 90^\circ$. Длина гипотенузы $AB = 25$ см, длина катета $AC = 24$ см.

Для нахождения тригонометрических функций необходимо знать длины всех сторон треугольника. Найдем длину второго катета $BC$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$ см.

Итак, мы имеем стороны треугольника: катет $AC = 24$ см, катет $BC = 7$ см и гипотенуза $AB = 25$ см. Теперь можем приступить к вычислениям.

а) sin A

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ противолежащим катетом является $BC$.

$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$

Ответ: $\frac{7}{25}$.

б) cos A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ прилежащим катетом является $AC$.

$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$

Ответ: $\frac{24}{25}$.

в) tg B

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла $B$ противолежащим катетом является $AC$, а прилежащим — $BC$.

$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г) ctg B

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Для угла $B$ прилежащим катетом является $BC$, а противолежащим — $AC$.

$ctg B = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$.

д) tg B ⋅ ctg B

Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла всегда равно 1, так как по определению они являются взаимно обратными величинами ($ctg B = 1 / tg B$).

$tg B \cdot ctg B = \frac{AC}{BC} \cdot \frac{BC}{AC} = 1$.

Для проверки можно подставить вычисленные значения: $\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{24} = 1$.

Ответ: $1$.

е) sin² A + cos² A

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла, известная как основное тригонометрическое тождество, всегда равна 1.

$sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Для проверки можно подставить значения, найденные в пунктах а) и б):

$(\frac{7}{25})^2 + (\frac{24}{25})^2 = \frac{7^2}{25^2} + \frac{24^2}{25^2} = \frac{49}{625} + \frac{576}{625} = \frac{49 + 576}{625} = \frac{625}{625} = 1$.

Ответ: $1$.