Номер 10, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

10. Заполните пропуски в равенствах, перенеся их в тетрадь:

а) $\sin 60^\circ = \ldots;$

б) $\text{tg } 30^\circ = \ldots;$

в) $\sin \ldots = \frac{1}{2};$

г) $\cos \ldots = \frac{\sqrt{3}}{2};$

д) $\sin 45^\circ = \ldots;$

е) $\text{ctg } \ldots = \sqrt{3};$

ж) $\ldots 45^\circ = 1;$

з) $\cos \ldots = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) Чтобы найти значение $sin 60°$, нужно вспомнить стандартные значения тригонометрических функций для основных углов. Для угла в 60 градусов синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это можно увидеть, рассмотрев равносторонний треугольник со стороной 2. Высота, проведенная к одной из сторон, делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Катеты будут равны 1 и $\sqrt{3}$, а гипотенуза — 2. Синус 60° — это отношение противолежащего катета ($\sqrt{3}$) к гипотенузе (2).
Ответ: $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Чтобы найти значение $tg 30°$, можно использовать определение тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$. Для угла 30° имеем $sin 30° = \frac{1}{2}$ и $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $tg 30° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $tg 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Необходимо найти угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $sin 30° = \frac{1}{2}$. Таким образом, пропущенный угол равен 30°.
Ответ: $sin 30° = \frac{1}{2}$.

г) Необходимо найти угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это также стандартное табличное значение. $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, искомый угол равен 30°.
Ответ: $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

д) Значение $sin 45°$ — это стандартное табличное значение. В равнобедренном прямоугольном треугольнике (углы 45°, 45°, 90°) с катетами, равными 1, гипотенуза равна $\sqrt{2}$. Синус 45° — это отношение противолежащего катета (1) к гипотенузе ($\sqrt{2}$), то есть $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или, что то же самое, $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) Требуется найти угол $\alpha$, для которого $ctg \alpha = \sqrt{3}$. Котангенс — это отношение косинуса к синусу: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. Для угла 30° имеем $ctg 30° = \frac{cos 30°}{sin 30°} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. Значит, пропущенный угол равен 30°.
Ответ: $ctg 30° = \sqrt{3}$.

ж) Нужно определить тригонометрическую функцию, значение которой для угла 45° равно 1. Мы знаем, что $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тангенс угла 45° равен $tg 45° = \frac{sin 45°}{cos 45°} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$. Котангенс 45° также равен 1. Обычно в таких случаях можно использовать любую из этих двух функций.
Ответ: $tg 45° = 1$ (или $ctg 45° = 1$).

з) Необходимо найти угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это стандартное значение, которое соответствует углу 45° в первой четверти. $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.