Номер 14, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

14. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, тангенс угла при основании равен 2. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию задачи, длина основания $AC = 8$ см.

Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Обозначим угол при основании, например $\angle BAC$, как $\alpha$. По условию, тангенс этого угла равен 2, то есть $\tan(\alpha) = 2$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам. Следовательно, $AH = HC$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $BH$ является высотой исходного треугольника, а катет $AH$ — половиной его основания.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH}$.

Мы знаем, что $\tan(\alpha) = 2$ и $AH = 4$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем высоту $BH$:

$2 = \frac{BH}{4}$

$BH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$, зная его основание $AC = 8$ см и высоту $BH = 8$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = \frac{64}{2} = 32$ см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.