Номер 12, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

12. Найдите косинус острого угла равнобедренной трапеции со сторонами, равными 5 см, 11 см, 6 см, 6 см, и укажите градусную меру этого угла.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. В данном случае это стороны по 6 см. Основаниями являются две другие стороны, 5 см и 11 см. Пусть меньшее основание $b = 5$ см, большее основание $a = 11$ см, а боковые стороны $c = 6$ см.

Острые углы трапеции находятся при большем основании. Чтобы найти косинус острого угла, проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее. Проведем высоты $DE$ и $CF$ на основание $AB$.

Фигура $DCFE$ является прямоугольником, поэтому $EF = CD = 5$ см.

Треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle BCF$ равны по катету и гипотенузе (так как трапеция равнобедренная). Следовательно, отрезки $AE$ и $FB$ равны.

Длину отрезка $AE$ можно найти как полуразность оснований:

$AE = \frac{a - b}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADE$. Угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) — это острый угол трапеции. В этом треугольнике:

• $AD$ — гипотенуза, равная боковой стороне трапеции, $AD = 6$ см.
• $AE$ — катет, прилежащий к углу $\angle A$, $AE = 3$ см.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\angle A) = \frac{AE}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем градусную меру этого угла. Если косинус угла равен $\frac{1}{2}$, то сам угол равен $60^\circ$.

$\angle A = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: косинус острого угла равен $\frac{1}{2}$, градусная мера этого угла равна $60^\circ$.