Номер 13, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

13. По данным на рисунках 19, а) — в) найдите длину отрезка $x$, используя определение синуса или косинуса острого угла прямоугольного треугольника.

а) б) в)

Рис. 19

а)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\triangle AMK$ с прямым углом $M$. Угол $A$ является общим острым углом для обоих этих треугольников.

Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Для треугольника $\triangle ABC$ синус угла $A$ выражается как:

$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Из данных на рисунке мы знаем, что $BC = 3$ и $AB = x$. Подставим эти значения:

$\sin(\angle A) = \frac{3}{x}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMK$. Для него синус того же угла $A$ выражается как:

$\sin(\angle A) = \frac{MK}{AK}$

Из данных на рисунке мы знаем, что $MK = 2$ и $AK = 5$. Подставим эти значения:

$\sin(\angle A) = \frac{2}{5}$

Так как оба выражения равны синусу одного и того же угла $A$, мы можем их приравнять:

$\frac{3}{x} = \frac{2}{5}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

$2 \cdot x = 3 \cdot 5$

$2x = 15$

$x = \frac{15}{2} = 7.5$

Ответ: 7.5

б)

На рисунке мы видим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\triangle MBK$ с прямым углом $K$. Угол $B$ является общим острым углом для этих треугольников.

Воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для большего треугольника $\triangle ABC$ синус угла $B$ равен:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$

По данным рисунка $AC = 2$. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MB$: $AB = AM + MB = 1 + 3 = 4$.

Подставим значения:

$\sin(\angle B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Для меньшего треугольника $\triangle MBK$ синус угла $B$ равен:

$\sin(\angle B) = \frac{MK}{MB}$

По данным рисунка $MK = x$ и $MB = 3$.

Подставим значения:

$\sin(\angle B) = \frac{x}{3}$

Теперь приравняем два полученных выражения для синуса угла $B$:

$\frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

Решим уравнение для нахождения $x$:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5

в)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: большой $\triangle ABC$ (прямой угол при вершине $C$) и малый $\triangle KMB$ (прямой угол при вершине $M$). Угол $B$ является общим острым углом для обоих треугольников.

Используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для треугольника $\triangle ABC$ косинус угла $B$ определяется как:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

Длина катета $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$: $BC = BK + KC = 2 + 1 = 3$. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MB$: $AB = AM + MB = x + 1$.

Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\cos(\angle B) = \frac{3}{x+1}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle KMB$. Для него косинус того же угла $B$ определяется как:

$\cos(\angle B) = \frac{BM}{KB}$

По данным рисунка $BM = 1$ и $KB = 2$.

Подставим эти значения:

$\cos(\angle B) = \frac{1}{2}$

Так как мы получили два выражения для косинуса одного и того же угла, мы можем их приравнять:

$\frac{3}{x+1} = \frac{1}{2}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции:

$1 \cdot (x+1) = 3 \cdot 2$

$x + 1 = 6$

$x = 6 - 1 = 5$

Ответ: 5