Номер 9, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

9. Найдите синус меньшего острого угла между диагональю прямоугольника и его стороной, если периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из сторон — 12 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, периметр $P = 34$ см, а одна из сторон, например $a$, равна $12$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим известные значения, чтобы найти вторую сторону $b$:

$34 = 2(12 + b)$

$17 = 12 + b$

$b = 17 - 12 = 5$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $12$ см и $5$ см.

Диагональ прямоугольника, вместе с двумя его сторонами, образует прямоугольный треугольник, где стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. Найдем длину диагонали $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$d = \sqrt{169} = 13$ см.

Диагональ образует со сторонами два острых угла. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Один угол $\alpha$ образуется между диагональю и стороной $12$ см. Его синус равен $\sin(\alpha) = \frac{5}{13}$.

Другой угол $\beta$ образуется между диагональю и стороной $5$ см. Его синус равен $\sin(\beta) = \frac{12}{13}$.

В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Так как сторона $5$ см меньше стороны $12$ см, то угол $\alpha$, лежащий против стороны $5$ см, является меньшим из двух острых углов.

Следовательно, синус меньшего острого угла равен $\frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$