номер 15, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

15. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен $\frac{2}{5}$, один из катетов на 6 см больше другого. Найдите площадь треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

По условию, один из катетов на 6 см больше другого. Пусть $a$ — меньший катет, тогда больший катет $b = a + 6$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для двух острых углов нашего треугольника тангенсы будут равны $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$.

Поскольку мы предположили, что $a$ — меньший катет, то $a < b$, а значит $\frac{a}{b} < 1$. Так как заданное значение тангенса $\frac{2}{5} < 1$, то оно соответствует отношению меньшего катета к большему:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

(Если бы мы рассмотрели второй случай, $\frac{b}{a} = \frac{2}{5}$, то подставив $b = a + 6$, получили бы $\frac{a+6}{a} = \frac{2}{5}$, откуда $5(a+6) = 2a$, что приводит к $5a + 30 = 2a$ и $3a = -30$. Длина катета не может быть отрицательной, поэтому этот вариант невозможен.)

Итак, мы имеем систему из двух уравнений:

$b = a + 6$

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:

$\frac{a}{a + 6} = \frac{2}{5}$

Решим это уравнение относительно $a$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5a = 2(a + 6)$

$5a = 2a + 12$

$5a - 2a = 12$

$3a = 12$

$a = 4$ см.

Теперь найдем длину второго катета $b$:

$b = a + 6 = 4 + 6 = 10$ см.

Катеты треугольника равны 4 см и 10 см. Вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 2 \times 10 = 20$ см².

Ответ: 20 см².