Реальная геометрия, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

На рисунке 22 изображен дорожный знак «Крутой подъем 12%». Он означает, что через каждые 100 м, отсчитываемых по горизонтали, высота положения точки увеличивается на 12 м.

Puc. 22

Задание 1. Определите величину угла подъема при таком знаке, используя понятие тангенса угла.

$\tan(\alpha) = \frac{12}{100} = 0.12$

$\alpha = \arctan(0.12)$

Задание 2. Вычислите, используя тригонометрические функции, на какую высоту относительно первоначального положения поднимется автомобиль, если он проедет по дороге 240 м в гору. Проверьте полученный результат, решив эту же задачу, используя подобие треугольников.

$h = L_{\text{склон}} \sin(\alpha)$

$\sin(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}$

$h = 240 \cdot \frac{0.12}{\sqrt{1 + 0.12^2}}$

$\frac{h}{12} = \frac{240}{\sqrt{100^2 + 12^2}}$

$h = 12 \cdot \frac{240}{\sqrt{100^2 + 12^2}}$

Интересно знать. В 2017 г. состоялось торжественное открытие завода «БЕЛДЖИ» по сборке легковых автомобилей. Предприятие размещается между Борисовом и Жодино. В 2023 г. СЗАО «БЕЛДЖИ» подтвердило звание лауреата Премии Правительства и получило престижную награду за достижения в области качества.

Задание 3. Используя дополнительные источники информации, выясните первоначальную мощность завода (количество выпускаемых автомобилей в год).

Задание 1.

Дорожный знак «Крутой подъем 12%» означает, что на каждые 100 метров горизонтального пути высота увеличивается на 12 метров. Эту ситуацию можно представить в виде прямоугольного треугольника, где:

• горизонтальный путь — это прилежащий катет ($b = 100$ м);
• увеличение высоты — это противолежащий катет ($a = 12$ м);
• угол подъема ($\alpha$) — это угол между гипотенузой (дорогой) и прилежащим катетом (горизонталью).

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Подставим наши значения:
$\tan \alpha = \frac{12}{100} = 0.12$

Чтобы найти саму величину угла $\alpha$, нужно вычислить арктангенс этого значения:
$\alpha = \arctan(0.12) \approx 6.84^\circ$

Ответ: Величина угла подъема составляет примерно $6.84^\circ$.

Задание 2.

Нам нужно найти, на какую высоту ($h$) поднимется автомобиль, проехав 240 м по дороге. Длина пути по дороге (240 м) является гипотенузой нового, большего прямоугольного треугольника. Обозначим ее $c'$.

Решение с использованием тригонометрических функций:

Угол подъема $\alpha$ остается тем же. Мы знаем, что синус угла — это отношение противолежащего катета (высоты $h$) к гипотенузе ($c' = 240$ м):
$\sin \alpha = \frac{h}{c'}$
Отсюда $h = c' \cdot \sin \alpha$.

Сначала найдем $\sin \alpha$ из исходного треугольника (катеты 12 м и 100 м). Гипотенуза исходного треугольника $c$ равна:
$c = \sqrt{100^2 + 12^2} = \sqrt{10000 + 144} = \sqrt{10144} \approx 100.72$ м.
Теперь находим синус угла:
$\sin \alpha = \frac{12}{c} = \frac{12}{\sqrt{10144}}$

Вычисляем искомую высоту $h$:
$h = 240 \cdot \sin \alpha = 240 \cdot \frac{12}{\sqrt{10144}} = \frac{2880}{\sqrt{10144}} \approx 28.59$ м.

Проверка с использованием подобия треугольников:

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника:

• Малый треугольник: противолежащий катет $a = 12$ м, гипотенуза $c = \sqrt{10144}$ м.
• Большой треугольник: противолежащий катет $h$ (искомая высота), гипотенуза $c' = 240$ м.

Так как треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон равно:
$\frac{h}{a} = \frac{c'}{c}$

Подставим значения и выразим $h$:
$\frac{h}{12} = \frac{240}{\sqrt{10144}}$
$h = \frac{240 \cdot 12}{\sqrt{10144}} = \frac{2880}{\sqrt{10144}} \approx 28.59$ м.

Оба способа дают одинаковый результат. Округлим до одного знака после запятой.

Ответ: Автомобиль поднимется на высоту примерно 28.6 м.

Задание 3.

Согласно информации из открытых источников (новостных порталов и официальных пресс-релизов), торжественное открытие нового завода СЗАО «БЕЛДЖИ» состоялось в ноябре 2017 года. На момент запуска производственная мощность предприятия на первом этапе была заявлена на уровне 60 000 автомобилей в год. В дальнейшем предусматривалась возможность увеличения мощности до 120 000 автомобилей в год после реализации второго этапа проекта.

Ответ: Первоначальная мощность завода «БЕЛДЖИ» составляла 60 000 автомобилей в год.