Номер 18, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

18. При помощи циркуля и линейки постройте угол $\alpha$, если известно, что:

а) $\sin\alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\cos\alpha = 0,6$.

а) Для построения угла $α$, синус которого равен $\frac{2}{3}$, мы воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике. Синус острого угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, нам нужно построить прямоугольный треугольник, катеты и гипотенуза которого находятся в соотношении, дающем нужный синус.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $B$.

2. С помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку $B$. Пусть это будет луч $BM$.

3. Выбираем произвольный отрезок, который будем считать единичным. На луче $BM$ от точки $B$ откладываем два таких единичных отрезка и получаем точку $C$. Таким образом, длина отрезка $BC$ равна 2 условным единицам.

4. Раствором циркуля, равным трем таким же единичным отрезкам, проводим дугу окружности с центром в точке $C$ так, чтобы она пересекла нашу исходную прямую. Точку пересечения назовем $A$.

5. Соединяем точки $A$ и $C$. Мы получили прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$.

В построенном треугольнике $ABC$ катет $BC$, противолежащий углу $A$, равен 2 условным единицам, а гипотенуза $AC$ равна 3 условным единицам. Следовательно, синус угла $BAC$ равен:

$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$

Таким образом, построенный угол $BAC$ является искомым углом $α$.

Ответ: Искомый угол $α$ - это угол $BAC$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$, где катет $BC=2x$ и гипотенуза $AC=3x$ для произвольно выбранной единицы длины $x$.

б) Для построения угла $α$, косинус которого равен $0,6$, представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{3}{5}$.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$ – вершину будущего угла.

2. Выбираем произвольный отрезок в качестве единичного. От точки $A$ по прямой откладываем три таких единичных отрезка и получаем точку $B$. Отрезок $AB$ будет прилежащим катетом, его длина равна 3 условным единицам.

3. В точке $B$ с помощью циркуля и линейки строим перпендикуляр к прямой $AB$.

4. Раствором циркуля, равным пяти таким же единичным отрезкам, проводим дугу окружности с центром в точке $A$ так, чтобы она пересекла перпендикуляр, построенный в шаге 3. Точку пересечения назовем $C$.

5. Соединяем точки $A$ и $C$. Мы получили прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$.

В построенном треугольнике $ABC$ прилежащий к углу $A$ катет $AB$ равен 3 условным единицам, а гипотенуза $AC$ равна 5 условным единицам. Следовательно, косинус угла $BAC$ равен:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6$

Таким образом, построенный угол $BAC$ является искомым углом $α$.

Ответ: Искомый угол $α$ - это угол $BAC$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$, где прилежащий катет $AB=3x$ и гипотенуза $AC=5x$ для произвольно выбранной единицы длины $x$.