Номер 21, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

21. В остроугольном треугольнике $ABC$ (рис. 21) проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$, $\angle B = 60^\circ$, $A_1C_1 = 4$, $S_{A_1BC_1} = 9$.

а) Докажите, что треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия, равным $\cos B$.

б) Найдите длину стороны $AC$.

в) Найдите $S_{ABC}$.

Рис. 21

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle A_1BC_1 $ и $ \triangle ABC $. Угол $ \angle B $ является общим для обоих треугольников. Так как $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, то $ \triangle ABA_1 $ и $ \triangle CBC_1 $ являются прямоугольными. Из прямоугольного треугольника $ \triangle ABA_1 $ (с прямым углом при $A_1$) получаем отношение катета $BA_1$ к гипотенузе $AB$: $ \frac{BA_1}{AB} = \cos B $. Аналогично, из прямоугольного треугольника $ \triangle CBC_1 $ (с прямым углом при $C_1$) получаем отношение катета $BC_1$ к гипотенузе $BC$: $ \frac{BC_1}{BC} = \cos B $. Таким образом, мы имеем равенство $ \frac{BA_1}{AB} = \frac{BC_1}{BC} $. Поскольку две стороны треугольника $ \triangle A_1BC_1 $ ($BA_1$ и $BC_1$) пропорциональны двум сторонам треугольника $ \triangle ABC $ ($AB$ и $BC$), а угол между этими сторонами ($ \angle B $) общий, то треугольники подобны по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k$ равен этому отношению: $ k = \cos B $. Ответ: Утверждение доказано.

б) Из доказанного в пункте а) подобия треугольников $ \triangle A_1BC_1 $ и $ \triangle ABC $ следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $ k = \cos B $. Таким образом, $ \frac{A_1C_1}{AC} = k $. По условию задачи $ \angle B = 60^\circ $, следовательно, $ k = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Также дано, что длина стороны $ A_1C_1 = 4 $. Подставим известные значения в формулу отношения сторон: $ \frac{4}{AC} = \frac{1}{2} $. Отсюда находим длину стороны $ AC $: $ AC = 4 \cdot 2 = 8 $. Ответ: 8.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Так как $ \triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC $ с коэффициентом подобия $ k = \frac{1}{2} $, то отношение их площадей равно $ \frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $. По условию задачи площадь треугольника $ S_{A_1BC_1} = 9 $. Подставим это значение в формулу: $ \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} $. Отсюда находим площадь треугольника $ ABC $: $ S_{ABC} = 9 \cdot 4 = 36 $. Ответ: 36.