Тест 2, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Длина стороны x равна:

a) 8;

б) $4\sqrt{3}$;

в) $\frac{4}{\sqrt{3}};$

г) 6.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать чертеж. На нем изображен треугольник, в котором из одной вершины (обозначим ее C) проведен отрезок (обозначим его CD) к противоположной стороне (AB). Этот отрезок обладает двумя свойствами, указанными на чертеже:

1. Он является высотой, так как у его основания D показан символ прямого угла ($\angle ADC = 90^{\circ}$).
2. Он является биссектрисой, так как делит угол при вершине C на два равных угла ($\angle ACD = \angle BCD$), что показано одинаковыми дугами.

В треугольнике (обозначим его ABC) свойство, при котором высота, проведенная из вершины, совпадает с биссектрисой из той же вершины, выполняется только в равнобедренном треугольнике. Причем равными являются стороны, прилежащие к этой вершине. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, и $AC = BC$.

На чертеже указан угол $60^{\circ}$ (пусть это будет угол A) и длина стороны, равная 4. Также имеется сторона, длина которой обозначена как $x$.

Рассмотрим две возможные интерпретации того, к каким элементам относятся обозначения 4 и $x$.

Интерпретация 1: Число 4 обозначает длину стороны AC, а $x$ — длину стороны BC.

В этом случае, из-за равнобедренности треугольника, мы имеем $AC = BC$, то есть $4 = x$. Однако, такого варианта ответа нет. Это означает, что данная интерпретация, хоть и наиболее очевидна из чертежа, скорее всего, не является верной. Проверка этой гипотезы показывает, что если $\angle A = 60^{\circ}$ и $AC = BC$, то и $\angle B = 60^{\circ}$, а значит и $\angle C = 60^{\circ}$. Треугольник оказывается равносторонним со стороной 4.

Интерпретация 2: Чертеж содержит неточность, и число 4 обозначает длину отрезка AD (проекцию стороны AC на основание AB). Эта гипотеза приводит к одному из предложенных вариантов ответа.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Нам известны следующие параметры:

• Угол $\angle A = 60^{\circ}$
• Прилежащий к нему катет $AD = 4$

Найдем гипотенузу AC, используя определение косинуса:

$ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AD}{AC} $

Подставим известные значения. Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$ \frac{1}{2} = \frac{4}{AC} $

Из этого уравнения находим длину стороны AC:

$ AC = 4 \times 2 = 8 $

Как мы установили в самом начале, треугольник ABC является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AC = BC$. Сторона BC обозначена как $x$. Следовательно:

$ x = BC = AC = 8 $

Этот результат соответствует варианту ответа а).

Ответ: 8