Номер 25, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

25. Найдите неизвестные стороны треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$), если:

a) $AB = 10$, $sin B = \frac{3}{5}$;

б) $AB = 8$, $cos B = 0,75$;

в) $BC = 4$, $sin A = \frac{2}{3}$;

г) $AC = 1,5$, $tgA = 2$.

а) В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза AB = 10 и $\sin B = \frac{3}{5}$. Необходимо найти катеты AC и BC.
1. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin B = \frac{AC}{AB}$.
Отсюда находим катет AC: $AC = AB \cdot \sin B = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6$.
2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Отсюда находим катет BC: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: AC = 6, BC = 8.

б) В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза AB = 8 и $\cos B = 0,75 = \frac{3}{4}$. Необходимо найти катеты AC и BC.
1. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\cos B = \frac{BC}{AB}$.
Отсюда находим катет BC: $BC = AB \cdot \cos B = 8 \cdot 0,75 = 6$.
2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Отсюда находим катет AC: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: BC = 6, AC = $2\sqrt{7}$.

в) В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, катет BC = 4 и $\sin A = \frac{2}{3}$. Необходимо найти катет AC и гипотенузу AB.
1. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin A = \frac{BC}{AB}$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{4}{2/3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$.
2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Отсюда находим катет AC: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: AB = 6, AC = $2\sqrt{5}$.

г) В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, катет AC = 1,5 и $\tan A = 2$. Необходимо найти катет BC и гипотенузу AB.
1. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\tan A = \frac{BC}{AC}$.
Отсюда находим катет BC: $BC = AC \cdot \tan A = 1,5 \cdot 2 = 3$.
2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(1,5)^2 + 3^2} = \sqrt{2,25 + 9} = \sqrt{11,25}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{11,25} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: BC = 3, AB = $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.