Номер 29, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

29. Дан параллелограмм $ABCD$. Его высота $BK$ проведена к стороне $AD$, $AK : KD = 1 : 2$, $BC = 24$ см. Найдите площадь параллелограмма, если $\cos C = \frac{4}{5}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона $AD$ равна стороне $BC$.
$AD = BC = 24$ см.
Сторона $AD$ состоит из отрезков $AK$ и $KD$. По условию дано, что $AK : KD = 1 : 2$.
Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда $AK = x$ и $KD = 2x$.
Длина всей стороны $AD$ равна сумме длин её частей: $AD = AK + KD = x + 2x = 3x$.
Так как мы знаем, что $AD = 24$ см, можем составить уравнение:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$ см.
Таким образом, длины отрезков равны: $AK = 8$ см и $KD = 2 \cdot 8 = 16$ см.
В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$.
Следовательно, косинусы этих углов также равны: $\cos{A} = \cos{C} = \frac{4}{5}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. Он является прямоугольным, так как $BK$ — высота, проведенная к стороне $AD$, и, следовательно, $\angle BKA = 90^\circ$.
В этом треугольнике косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета $AK$ к гипотенузе $AB$:
$\cos{A} = \frac{AK}{AB}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\frac{4}{5} = \frac{8}{AB}$.
Из этой пропорции найдем длину стороны $AB$:
$AB = \frac{8 \cdot 5}{4} = \frac{40}{4} = 10$ см.
Теперь, зная гипотенузу $AB$ и катет $AK$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$, мы можем найти второй катет $BK$ (высоту параллелограмма) с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AK^2 + BK^2$.
Выразим $BK^2$:
$BK^2 = AB^2 - AK^2$
$BK^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$BK = \sqrt{36} = 6$ см.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: $S = a \cdot h_a$.
В нашем случае основание — это сторона $AD$, а высота — $BK$.
$S_{ABCD} = AD \cdot BK = 24 \cdot 6 = 144$ см².

Ответ: $144$ см².