Гимнастика ума, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

По данным на рисунке 40 найдите:

а) $ \text{tg } C; $

б) $ \sin A; $

в) $ \text{ctg } B. $

Рис. 40

При помощи Интернета выясните, что означает термин «тригонометрия», когда он возник. В каких сферах деятельности используется тригонометрия?

а) tg C;

Для нахождения тригонометрических функций углов треугольника ABC сначала определим координаты его вершин по клеткам на рисунке. Примем, что одна клетка соответствует 1 единице.

• Координаты точки A: (-4, -2)
• Координаты точки B: (1, 3)
• Координаты точки C: (2, -2)

Чтобы найти $tg C$, опустим высоту BH из вершины B на сторону AC. Так как у точек A и C одинаковая координата y = -2, сторона AC является горизонтальным отрезком. Основание высоты, точка H, будет иметь x-координату, как у точки B, и y-координату, как у точек A и C. Таким образом, координаты точки H: (1, -2).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (угол H прямой).

Длина катета BH (противолежащего углу C) равна разности y-координат точек B и H: $BH = |3 - (-2)| = 5$.

Длина катета HC (прилежащего к углу C) равна разности x-координат точек C и H: $HC = |2 - 1| = 1$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:

$tg C = \frac{BH}{HC} = \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: 5.

б) sin A;

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHA (угол H прямой), образованный высотой BH.

Длина катета BH (противолежащего углу A) равна 5.

Длина катета AH (прилежащего к углу A) равна разности x-координат точек H и A: $AH = |1 - (-4)| = 5$.

Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{BH^2 + AH^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) ctg B.

Угол B в треугольнике ABC является суммой двух углов: $∠ABH$ и $∠CBH$. Пусть $∠ABH = \beta_1$ и $∠CBH = \beta_2$. Тогда $∠B = \beta_1 + \beta_2$.

Найдем котангенсы этих углов из прямоугольных треугольников BHA и BHC.

Из треугольника BHA: $ctg \beta_1 = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{5} = 1$.

Из треугольника BHC: $ctg \beta_2 = \frac{BH}{HC} = \frac{5}{1} = 5$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы: $ctg(\beta_1 + \beta_2) = \frac{ctg \beta_1 \cdot ctg \beta_2 - 1}{ctg \beta_1 + ctg \beta_2}$.

Подставим найденные значения:

$ctg B = \frac{1 \cdot 5 - 1}{1 + 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Термин «тригонометрия» происходит от двух древнегреческих слов: «τρίγωνον» (тригонон) — «треугольник» и «μετρέω» (метрео) — «измеряю», что буквально означает «измерение треугольников». Это раздел математики, который изучает зависимости между углами и длинами сторон треугольников, а также тригонометрические функции и их приложения.

Возникновение тригонометрии как научной дисциплины связано с потребностями астрономии в античности. Первые систематические исследования в этой области были проведены древнегреческим астрономом Гиппархом во II веке до н.э., который составил первые тригонометрические таблицы для определения положения звезд и планет. Поэтому его часто называют «отцом тригонометрии». Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли также ученые Индии и средневекового исламского мира. Сам термин «тригонометрия» был впервые предложен в 1595 году немецким математиком Бартоломеусом Питискусом.

Тригонометрия используется в самых разнообразных сферах человеческой деятельности. Вот некоторые из них:

• Астрономия: для вычисления расстояний до небесных тел и их траекторий.
• Геодезия и картография: для создания точных карт местности и измерения больших расстояний на поверхности Земли (триангуляция).
• Навигация: в мореплавании, авиации и космонавтике для определения местоположения и прокладывания маршрутов (в том числе в системах GPS).
• Физика: для описания любых колебательных и волновых процессов (звуковые, световые, электромагнитные волны).
• Инженерия и архитектура: при проектировании зданий, мостов, машин для расчета нагрузок, напряжений и обеспечения устойчивости конструкций.
• Компьютерная графика и разработка игр: для построения 3D-моделей, вращения объектов и создания реалистичных изображений.
• Медицина: в методах визуализации, таких как компьютерная томография (КТ) и МРТ, для реконструкции изображений внутренних органов.