Номер 30, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

30. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, высота $CH$ равна 12, медиана $CM$ равна 15. Найдите синус меньшего острого угла треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ ($ \angle C = 90^\circ $), $CH$ — высота, а $CM$ — медиана. По условию задачи, $CH = 12$ и $CM = 15$.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы. Таким образом, мы можем найти длину гипотенузы $AB$:

$CM = \frac{1}{2}AB \implies AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 15 = 30$.

Кроме того, точка $M$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому $AM = BM = CM = 15$.

Рассмотрим треугольник $CHM$. Так как $CH$ — высота, опущенная на $AB$, то $\angle CHM = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CHM$ — прямоугольный. Мы знаем длины гипотенузы $CM=15$ и катета $CH=12$. По теореме Пифагора найдем второй катет $HM$:

$HM^2 = CM^2 - CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$.

$HM = \sqrt{81} = 9$.

Точки $A, H, M, B$ лежат на одной прямой (гипотенузе $AB$). Зная $AM=15$ и $HM=9$, мы можем найти длины отрезков $AH$ и $BH$, на которые высота $CH$ делит гипотенузу. Пусть точки расположены в порядке A-H-M-B (второй вариант, A-M-H-B, приведет к смене названий катетов, но не изменит их длины).

$AH = AM - HM = 15 - 9 = 6$.

$BH = BM + HM = 15 + 9 = 24$.

Теперь мы можем найти длины катетов $AC$ и $BC$, используя прямоугольные треугольники $ACH$ и $BCH$.

Из $\triangle ACH$ ($\angle AHC = 90^\circ$):

$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$.

$AC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

Из $\triangle BCH$ ($\angle BHC = 90^\circ$):

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 24^2 + 12^2 = 576 + 144 = 720$.

$BC = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

Требуется найти синус меньшего острого угла треугольника $ABC$. В прямоугольном треугольнике меньший угол лежит напротив меньшего катета. Сравним катеты: $AC = 6\sqrt{5}$ и $BC = 12\sqrt{5}$.

Поскольку $AC < BC$, меньшим острым углом является угол $B$, лежащий напротив катета $AC$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $B$:

$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6\sqrt{5}}{30} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.