Номер 33, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

33. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза $c$ и острый угол $\alpha$ (рис. 38). Найдите: катет $a$, катет $b$, высоту $h_c$, проекции $a_c$ и $b_c$ катетов $a$ и $b$ на гипотенузу.

Puc. 38

катет a

В данном прямоугольном треугольнике катет $a$ является противолежащим к острому углу $\alpha$. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Из этой формулы выразим катет $a$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

Ответ: $a = c \cdot \sin(\alpha)$

катет b

Катет $b$ является прилежащим к острому углу $\alpha$. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, имеем:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

Из этой формулы выразим катет $b$:

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Ответ: $b = c \cdot \cos(\alpha)$

высоту h_c

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_c$, катетом $b$ и проекцией $b_c$. В этом треугольнике гипотенузой является катет $b$ исходного треугольника. Угол, противолежащий катету $h_c$, равен $\alpha$. Следовательно, по определению синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{h_c}{b}$

Отсюда $h_c = b \cdot \sin(\alpha)$. Подставим ранее найденное выражение для $b=c \cdot \cos(\alpha)$:

$h_c = (c \cdot \cos(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) = c \cdot \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Ответ: $h_c = c \cdot \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

проекции a_c и b_c катетов a и b на гипотенузу

Проекции катетов на гипотенузу можно найти, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot a_c$

$b^2 = c \cdot b_c$

Из этих соотношений выразим проекции $a_c$ и $b_c$:

$a_c = \frac{a^2}{c}$

$b_c = \frac{b^2}{c}$

Теперь подставим выражения для катетов $a$ и $b$, которые мы нашли ранее:

$a_c = \frac{(c \cdot \sin(\alpha))^2}{c} = \frac{c^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{c} = c \cdot \sin^2(\alpha)$

$b_c = \frac{(c \cdot \cos(\alpha))^2}{c} = \frac{c^2 \cdot \cos^2(\alpha)}{c} = c \cdot \cos^2(\alpha)$

Ответ: $a_c = c \cdot \sin^2(\alpha)$, $b_c = c \cdot \cos^2(\alpha)$