Номер 35, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

35. а) Найдите $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \alpha $ — острый угол и $ \sin \alpha = 0,8. $

б) Найдите $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \alpha $ — острый угол и $ \cos \alpha = \frac{1}{3}. $

а) Для нахождения $ctg \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Нам известно, что $sin \alpha = 0,8$ и $\alpha$ — острый угол.
Сначала найдем $cos \alpha$. Из тождества следует, что $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$.
Подставим данное значение $sin \alpha$:
$cos^2 \alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\alpha$ — острый угол, его косинус является положительным числом. Поэтому:
$cos \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
Подставим известные значения $sin \alpha$ и $cos \alpha$:
$ctg \alpha = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

б) Для нахождения $tg \alpha$ воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$. Нам известно, что $cos \alpha = \frac{1}{3}$ и $\alpha$ — острый угол.
Выразим из этого тождества $tg^2 \alpha$:
$tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha} - 1$.
Подставим данное значение $cos \alpha$:
$tg^2 \alpha = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} - 1 = \frac{1}{\frac{1}{9}} - 1 = 9 - 1 = 8$.
Так как $\alpha$ — острый угол, его тангенс является положительным числом. Поэтому:
$tg \alpha = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.