Номер 40, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

40. Выясните, что больше: $\sin \alpha$ или $\operatorname{tg} \alpha$, где $\alpha$ — острый угол.

Чтобы выяснить, что больше, $\sin \alpha$ или $\tan \alpha$, где $\alpha$ — острый угол, мы можем сравнить эти два выражения. Острый угол означает, что $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (или в радианах $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

Для сравнения можно использовать два способа.

Способ 1: Алгебраический

Вспомним определение тангенса:

$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Сравним два выражения: $\sin \alpha$ и $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол, он находится в первой координатной четверти, где и синус, и косинус положительны:

$ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $.

Так как $\sin \alpha > 0$, мы можем разделить обе части сравнения на $\sin \alpha$ без изменения знака. Таким образом, задача сводится к сравнению $1$ и $\frac{1}{\cos \alpha}$.

Для любого острого угла $\alpha$ его косинус строго меньше 1 и больше 0:

$ 0 < \cos \alpha < 1 $

Если разделить 1 на положительное число, меньшее 1, результат будет больше 1. Следовательно:

$ \frac{1}{\cos \alpha} > 1 $

Из этого следует, что $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha$, то есть $\tan \alpha > \sin \alpha$.

Способ 2: Геометрический

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Отложим от положительного направления оси Ox острый угол $\alpha$. Пусть $P$ — точка пересечения стороны угла с окружностью. Координаты этой точки — $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

На этой окружности длина перпендикуляра $MP$, опущенного из точки $P$ на ось Ox, равна $\sin \alpha$ (синий отрезок).

Теперь проведем касательную к окружности в точке $A(1, 0)$. Продолжим радиус $OP$ до пересечения с этой касательной в точке $T$. По определению тангенса, длина отрезка $AT$ равна $\tan \alpha$ (красный отрезок).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMP$ и $OAT$. Они подобны. В треугольнике $OMP$ катет $MP = \sin \alpha$ и гипотенуза $OP = 1$. В треугольнике $OAT$ катет $AT = \tan \alpha$ и прилежащий катет $OA=1$. Так как гипотенуза $OT$ треугольника $OAT$ длиннее гипотенузы $OP$ треугольника $OMP$ (поскольку $OT > 1$, а $OP=1$), то и соответствующий катет $AT$ будет длиннее катета $MP$.

Таким образом, геометрически мы также видим, что $\tan \alpha > \sin \alpha$.

Итак, для любого острого угла $\alpha$, значение тангенса этого угла всегда больше значения его синуса (равенство достигается только при $\alpha=0$, но это не острый угол).

Ответ: $\tan \alpha > \sin \alpha$.