Реальная геометрия, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

На рисунке 45 показаны размеры железнодорожной насыпи, поперечное сечение которой имеет форму равнобедренной трапеции. Найдите по указанным размерам примерную высоту $h$ насыпи. Ответ округлите до 0,1 м.

Puc. 45

Интересно знать.

Детская железная дорога имени К. С. Заслонова в Минске (рис. 46) — единственная детская железная дорога в Беларуси. На ней работают три станции: «Заслоново», «Пионерская» и «Сосновый Бор». Длина главного пути составляет 3790 м. Ежегодно 9 мая юные железнодорожники работают в форме военных лет. В этот день на станции «Сосновый бор» гостей ждет праздничная концертная программа.

Puc. 46

Поперечное сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобедренной трапеции. Даны её основания: верхнее a = 6 м и нижнее b = 14 м, а также угол при нижнем основании, равный 55°.

Чтобы найти высоту трапеции h, проведём из вершин верхнего основания два перпендикуляра к нижнему основанию. Эти перпендикуляры разделят трапецию на центральный прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам.

Основания (катеты) этих прямоугольных треугольников, лежащие на нижнем основании трапеции, можно найти, вычтя из длины нижнего основания длину верхнего и разделив результат на два. Найдём длину одного такого катета, обозначив его x:

$x = \frac{b - a}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ м.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. В нём известны:

• прилежащий катет x = 4 м;
• угол, противолежащий высоте h, равный 55°.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(55^\circ) = \frac{h}{x}$

Подставим известное значение x:

$\tan(55^\circ) = \frac{h}{4}$

Выразим из этой формулы высоту h:

$h = 4 \cdot \tan(55^\circ)$

С помощью калькулятора найдем значение $\tan(55^\circ) \approx 1,42815$.

Вычислим высоту h:

$h \approx 4 \cdot 1,42815 \approx 5,7126$ м.

По условию, ответ необходимо округлить до 0,1 м.

$h \approx 5,7$ м.

Ответ: 5,7 м.