Номер 46, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

46. Известно, что угол $\alpha$ тупой. Найдите $\cos \alpha$, если:

a) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \sin \alpha = 0,6 $;

в) $ \sin \alpha = \frac{1}{3} $.

Для нахождения $cos\alpha$, зная $sin\alpha$, мы используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества следует, что $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$, а значит $cos\alpha = \pm\sqrt{1 - sin^2\alpha}$.

По условию задачи, угол $\alpha$ является тупым, что означает $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом диапазоне углов (II координатная четверть) косинус принимает отрицательные значения. Поэтому из двух возможных знаков мы выбираем минус. Формула для вычисления будет выглядеть так: $cos\alpha = -\sqrt{1 - sin^2\alpha}$.

а) При $sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ находим $cos\alpha$:

$cos\alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{2}{4}} = -\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) При $sin\alpha = 0,6$ находим $cos\alpha$:

$cos\alpha = -\sqrt{1 - (0,6)^2} = -\sqrt{1 - 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
Ответ: $-0,8$.

в) При $sin\alpha = \frac{1}{3}$ находим $cos\alpha$:

$cos\alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{9-1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.