Номер 48, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

48. a) В треугольнике ABC (рис. 54) стороны $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $\sin \angle ABC = \frac{3}{4}$. Найдите высоту $AH$ и $S_{ABC}$.

б) В параллелограмме ABCD (рис. 55) стороны $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $\cos \angle ABC = -0,6$. Найдите высоту $CK$ и $S_{ABCD}$.

Рис. 54

Рис. 55

а)

1. Найдем высоту AH.

Высота AH проведена из вершины A к прямой, содержащей сторону BC. Треугольник AHB является прямоугольным ($∠AHB = 90°$). Угол $∠ABH$ является смежным с углом $∠ABC$, так как по рисунку 54 угол $∠ABC$ тупой. Сумма смежных углов равна $180°$, т.е. $∠ABH + ∠ABC = 180°$.

Синусы смежных углов равны: $sin(∠ABH) = sin(180° - ∠ABC) = sin(∠ABC)$.

По условию, $sin(∠ABC) = \frac{3}{4}$, следовательно, $sin(∠ABH) = \frac{3}{4}$.

В прямоугольном треугольнике AHB синус угла $∠ABH$ равен отношению противолежащего катета AH к гипотенузе AB:

$sin(∠ABH) = \frac{AH}{AB}$

Подставим известные значения: $AB = 8$ см и $sin(∠ABH) = \frac{3}{4}$.

$\frac{3}{4} = \frac{AH}{8}$

Отсюда находим высоту AH:

$AH = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ см.

2. Найдем площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$).

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона треугольника, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне.

В нашем случае, в качестве основания возьмем сторону BC, длина которой равна 10 см. Высота, проведенная к этой стороне (точнее, к ее продолжению) – это AH, которую мы нашли, $AH = 6$ см.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$ см².

Также площадь можно было найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(∠ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot 10 \cdot \frac{3}{4} = 30$ см².

Ответ: высота $AH = 6$ см, $S_{ABC} = 30$ см².

б)

1. Найдем высоту CK.

Высота CK проведена из вершины C к прямой, содержащей сторону AD. Треугольник CKD является прямоугольным ($∠CKD = 90°$). В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, значит $CD = AB = 5$ см и $AD = BC = 6$ см.

Угол $∠CDK$ и угол $∠ADC$ являются смежными, поэтому $∠CDK + ∠ADC = 180°$.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит $∠ADC = ∠ABC$.

Следовательно, $∠CDK + ∠ABC = 180°$.

Синусы смежных углов равны: $sin(∠CDK) = sin(180° - ∠ABC) = sin(∠ABC)$.

Найдем $sin(∠ABC)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Нам дан $cos(∠ABC) = -0,6$.

$sin^2(∠ABC) = 1 - cos^2(∠ABC) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Так как угол параллелограмма находится в диапазоне от 0° до 180°, его синус всегда положителен.

$sin(∠ABC) = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Значит, $sin(∠CDK) = 0,8$.

В прямоугольном треугольнике CKD синус угла $∠CDK$ равен отношению противолежащего катета CK к гипотенузе CD:

$sin(∠CDK) = \frac{CK}{CD}$

Подставим известные значения: $CD = 5$ см и $sin(∠CDK) = 0,8$.

$0,8 = \frac{CK}{5}$

Отсюда находим высоту CK:

$CK = 5 \cdot 0,8 = 4$ см.

2. Найдем площадь параллелограмма ABCD ($S_{ABCD}$).

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ – сторона параллелограмма, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне.

В качестве основания возьмем сторону AD. $AD = BC = 6$ см. Высота, проведенная к этой стороне – это CK, которую мы нашли, $CK = 4$ см.

$S_{ABCD} = AD \cdot CK = 6 \cdot 4 = 24$ см².

Также площадь можно было найти по формуле $S = ab \cdot sin(\alpha)$:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot sin(∠ABC) = 5 \cdot 6 \cdot 0,8 = 30 \cdot 0,8 = 24$ см².

Ответ: высота $CK = 4$ см, $S_{ABCD} = 24$ см².