Геометрия 3D, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Задача. В основании прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит квадрат, диагональ которого $AC = 4\sqrt{6}$ см. Диагональ $CD_1$ боковой грани составляет с ребром основания $DC$ угол $60^\circ$ (рис. 47). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 47

Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $V = abc$, где $a, b$ и $c$ — его измерения. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD = DC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3}$ (см). Из прямоугольного треугольника $D_1DC$ находим $D_1D = DC \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = DC \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ (см). Искомый объем $V = AD \cdot DC \cdot DD_1 = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 = 576$ (см$^3$).

Ответ: $576$ см$^3$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда найдите самостоятельно.

Найдите объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ - его измерения (длина, ширина и высота). В данном случае, так как в основании лежит квадрат, $a=b$, и объем можно найти как $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота.

1. Найдем сторону основания. В основании параллелепипеда лежит квадрат $ABCD$, диагональ которого $AC = 4\sqrt{6}$ см. Сторона квадрата $a_{осн}$ связана с его диагональю $d$ соотношением $d = a_{осн}\sqrt{2}$. Отсюда сторона основания $DC$ равна:

$DC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\frac{6}{2}} = 4\sqrt{3}$ см.

Так как основание - квадрат, то $AD = DC = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда. Рассмотрим боковую грань $DCC_1D_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, то ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и ребру $DC$. Следовательно, треугольник $\triangle D_1DC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle D_1DC = 90^\circ$. По условию, диагональ боковой грани $CD_1$ составляет с ребром основания $DC$ угол $\angle D_1CD = 60^\circ$.

Высота параллелепипеда равна длине ребра $DD_1$. Из прямоугольного треугольника $\triangle D_1DC$ находим катет $DD_1$ через известный катет $DC$ и угол $\angle D_1CD$:

$\tan(\angle D_1CD) = \frac{DD_1}{DC}$

$DD_1 = DC \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

3. Вычислим объем параллелепипеда. Длина основания $AD = 4\sqrt{3}$ см, ширина $DC = 4\sqrt{3}$ см, высота $DD_1 = 12$ см.

$V = AD \cdot DC \cdot DD_1 = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 = (16 \cdot 3) \cdot 12 = 48 \cdot 12 = 576$ см$^3$.

Ответ: $576 \text{ см}^3$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда найдите самостоятельно

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Так как основание - квадрат со стороной $a = 4\sqrt{3}$ см, то:

$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см$^2$.

Поскольку у параллелепипеда два одинаковых основания, их суммарная площадь равна $2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 48 = 96$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых прямоугольников (так как основание - квадрат) с размерами $4\sqrt{3}$ см (сторона основания) и $12$ см (высота).

Площадь одной боковой грани: $S_{грани} = 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 48\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Вычислим площадь полной поверхности. Она равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 96 + 192\sqrt{3}$ см$^2$.

Это выражение можно записать, вынеся общий множитель: $S_{полн} = 96(1 + 2\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $(96 + 192\sqrt{3}) \text{ см}^2$.