Номер 43, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

43. Найдите синус острого угла $ \alpha $, если его котангенс равен $ 1\frac{1}{3} $.

Для нахождения синуса угла α, зная его котангенс, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус:

$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

По условию задачи, котангенс острого угла α равен $1\frac{1}{3}$. Переведем это смешанное число в неправильную дробь:

$\cot \alpha = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь подставим полученное значение котангенса в тригонометрическое тождество:

$1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Выполним вычисления в левой части уравнения:

$1 + \frac{16}{9} = \frac{9}{9} + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$

Таким образом, мы получили уравнение:

$\frac{25}{9} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Из этого уравнения выразим $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$

Теперь, чтобы найти $\sin \alpha$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Поскольку по условию угол α является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), его синус — положительная величина. Поэтому мы выбираем значение со знаком "+".

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$