Номер 42, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

42. Выведите для острого угла $\alpha$ формулы $1+\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1+\text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, разделив почленно обе части основного тригонометрического тождества на $\sin^2 \alpha$ и на $\cos^2 \alpha$.

Для вывода требуемых формул мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого угла $\alpha$ справедливо равенство:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Также мы будем использовать определения тангенса и котангенса для острого угла:

$\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Вывод формулы $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Возьмем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Поскольку $\alpha$ — острый угол, его косинус не равен нулю ($\cos \alpha \neq 0$). Это позволяет нам разделить обе части тождества на $\cos^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Разделим почленно левую часть уравнения:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Так как $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \text{tg}^2 \alpha$ и $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1$, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$\text{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Переставив слагаемые в левой части, получим искомую формулу:

$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Ответ: Формула $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ выведена.

Вывод формулы $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Снова начнем с основного тригонометрического тождества:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Поскольку $\alpha$ — острый угол, его синус не равен нулю ($\sin \alpha \neq 0$). Разделим обе части тождества на $\sin^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Разделим почленно левую часть уравнения:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Так как $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$ и $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \text{ctg}^2 \alpha$, мы можем переписать уравнение:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Таким образом, мы получили вторую искомую формулу.

Ответ: Формула $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ выведена.