Номер 41, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

41. Докажите, что для острого угла $\alpha$ справедливо тождество

$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.

41.

Для доказательства тождества $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$ для острого угла $\alpha$ можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Использование определений через стороны прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен $\alpha$. Пусть катет, противолежащий этому углу, имеет длину $a$, а катет, прилежащий к этому углу, имеет длину $b$.

По определению, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

$tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Котангенс острого угла — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего:

$ctg \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Теперь перемножим левые и правые части этих равенств:

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}$

Так как для треугольника длины катетов $a$ и $b$ являются положительными числами (не равны нулю), мы можем сократить дробь:

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$

Таким образом, тождество доказано.

Способ 2: Использование определений через синус и косинус

Тангенс и котангенс угла можно также определить через его синус и косинус.

Определение тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$

Определение котангенса: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$

Условие о том, что угол $\alpha$ является острым ($0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$), гарантирует, что $sin \alpha > 0$ и $cos \alpha > 0$. Следовательно, знаменатели в этих дробях не равны нулю, и определения корректны.

Подставим эти определения в левую часть исходного тождества:

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$

Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{cos \alpha \cdot sin \alpha}$

Так как множители в числителе и знаменателе одинаковы, и они не равны нулю, мы можем сократить дробь на $sin \alpha \cdot cos \alpha$, в результате чего получим 1.

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$

Тождество также доказано.

Ответ: Оба способа показывают, что $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$, что и требовалось доказать.