Номер 38, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

38. В окружности радиусом, равным 6 см, проведены диаметр $AB$ и хор-

да $AC$. Найдите длину хорды $BC$, если $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Рассмотрим треугольник ABC, вписанный в окружность. Поскольку отрезок AB является диаметром этой окружности, угол ∠ACB опирается на диаметр. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, где ∠ACB = 90°, а AB — гипотенуза.

Длина диаметра AB равна двум радиусам. По условию, радиус R = 6 см, значит:

$AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 6 = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC, противолежащий углу ∠BAC, может быть найден через гипотенузу AB и синус этого угла:

$BC = AB \cdot \sin(\angle BAC)$

Нам дан косинус угла ∠BAC: $\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Чтобы найти синус этого угла, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\angle BAC) = 1 - \cos^2(\angle BAC)$

Подставим известное значение косинуса:

$\sin^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$

Так как ∠BAC — это острый угол в прямоугольном треугольнике, его синус положителен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin(\angle BAC) = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем вычислить длину хорды BC, подставив значения AB и $\sin(\angle BAC)$ в формулу:

$BC = 12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ см.

Ответ: 8 см.