Моделирование, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Определите, можно ли разместить под лестницей длиной 6 м, составляющей с полом угол в 50° (рис. 39), ящик с размерами $2 \times 2 \times 3$ (м). Рассмотрите разные варианты расположения ящика (ящик можно класть набок).

Рис. 39

Для начала смоделируем пространство под лестницей. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это сама лестница длиной $L = 6$ м, а катеты — это пол и стена. Угол между лестницей и полом составляет $\alpha = 50^\circ$.

Найдем длину катетов этого треугольника:

• Максимальная высота у стены: $h = L \cdot \sin\alpha = 6 \cdot \sin 50^\circ \approx 6 \cdot 0.766 \approx 4.596$ м.
• Максимальная длина вдоль пола: $b = L \cdot \cos\alpha = 6 \cdot \cos 50^\circ \approx 6 \cdot 0.643 \approx 3.857$ м.

Высота $y$ под лестницей на расстоянии $x$ от стены определяется по формуле подобия треугольников: $y(x) = h \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)$.

Теперь рассмотрим различные варианты расположения ящика с размерами $2 \times 2 \times 3$ м.

Вариант 1. Ящик стоит на основании 2×2 м.

В этом случае высота ящика составляет 3 м, а его ширина (или глубина) — 2 м. Чтобы ящик поместился, его нужно расположить в той части пространства под лестницей, где высота не меньше 3 м. Найдем, на каком максимальном расстоянии от стены $x_{max}$ высота под лестницей равна 3 м.

$3 = h \cdot \left(1 - \frac{x_{max}}{b}\right)$

$x_{max} = b \cdot \left(1 - \frac{3}{h}\right) \approx 3.857 \cdot \left(1 - \frac{3}{4.596}\right) \approx 3.857 \cdot (1 - 0.653) \approx 3.857 \cdot 0.347 \approx 1.34$ м.

Это означает, что пространство, где высота потолка не менее 3 м, имеет ширину всего 1.34 м от стены. Поскольку ширина ящика (2 м) больше этой величины ($2$ м $> 1.34$ м), он не поместится в этом положении.

Ответ: в данном положении ящик разместить нельзя.

Вариант 2. Ящик лежит на основании 2×3 м.

В этом случае высота ящика составляет 2 м. Основание ящика $2 \times 3$ м можно расположить на полу двумя способами относительно стены.

а) Ширина ящика (расстояние от стены) составляет 3 м.

Чтобы ящик поместился, необходимо, чтобы на всю его ширину в 3 м высота под лестницей была не менее 2 м. Найдем максимальное расстояние от стены $x_{max}$, где высота равна 2 м.

$x_{max} = b \cdot \left(1 - \frac{2}{h}\right) \approx 3.857 \cdot \left(1 - \frac{2}{4.596}\right) \approx 3.857 \cdot (1 - 0.435) \approx 3.857 \cdot 0.565 \approx 2.18$ м.

Пространство с высотой не менее 2 м имеет ширину 2.18 м. Так как ширина ящика в этом положении (3 м) больше доступной ширины ($3$ м $> 2.18$ м), он не поместится.

б) Ширина ящика (расстояние от стены) составляет 2 м.

В этом случае глубина ящика составляет 3 м (вдоль стены), а его ширина — 2 м. Как мы рассчитали выше, пространство с высотой не менее 2 м имеет ширину 2.18 м. Поскольку ширина ящика (2 м) меньше этой величины ($2$ м $< 2.18$ м), он поместится. Проверим точную высоту на краю ящика, при $x = 2$ м:

$y(2) = h \cdot \left(1 - \frac{2}{b}\right) \approx 4.596 \cdot \left(1 - \frac{2}{3.857}\right) \approx 4.596 \cdot 0.481 \approx 2.21$ м.

Высота под лестницей на расстоянии 2 м от стены равна примерно 2.21 м, что больше высоты ящика (2 м). Следовательно, ящик помещается. При этом глубина пространства под лестницей должна быть не менее 3 м, что обычно выполняется.

Ответ: в данном положении ящик разместить можно, если его сторона шириной 2 м расположена перпендикулярно стене.

Таким образом, мы нашли как минимум один способ разместить ящик под лестницей.