Номер 32, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

32. В треугольнике $ABC$ высота $BH$ и медиана $BM$ делят $\angle ABC$ на три равных угла. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

По условию, высота $BH$ и медиана $BM$ в треугольнике $ABC$ делят угол $\angle ABC$ на три равных угла. Обозначим величину каждого из этих углов за $\alpha$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точек $H$ (основание высоты) и $M$ (основание медианы) на стороне $AC$.

Случай 1: Порядок точек на прямой $AC$ следующий: $A-H-M-C$.

В этом случае равные углы располагаются так: $\angle ABH = \angle HBM = \angle MBC = \alpha$.

Следовательно, весь угол $\angle ABC = \angle ABH + \angle HBM + \angle MBC = 3\alpha$.

Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$, $\triangle BHM$ и $\triangle BHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle BHM$ катет $HM$ лежит напротив угла $\angle HBM = \alpha$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle HBM) = \frac{HM}{BH}$, что дает $HM = BH \cdot \tan(\alpha)$.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ катет $AH$ лежит напротив угла $\angle ABH = \alpha$. Аналогично:

$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH}$, что дает $AH = BH \cdot \tan(\alpha)$.

Из этих двух равенств следует, что $AH = HM$.

По определению, $BM$ — медиана, значит $M$ — середина отрезка $AC$, и $AM = MC$.

Из расположения точек $A, H, M$ следует, что $AM = AH + HM$. Так как $AH = HM$, то $AM = 2AH$.

Поскольку $AM = MC$, получаем, что $MC = 2AH$.

Теперь найдем длину отрезка $HC$:

$HC = HM + MC = AH + 2AH = 3AH$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$. Угол $\angle HBC$ в этом треугольнике равен сумме двух углов: $\angle HBC = \angle HBM + \angle MBC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Катет $HC$ противолежит этому углу. Запишем для него тангенс:

$\tan(\angle HBC) = \frac{HC}{BH}$, или $\tan(2\alpha) = \frac{HC}{BH}$.

Подставим в это уравнение выражения $HC = 3AH$ и $AH = BH \cdot \tan(\alpha)$:

$\tan(2\alpha) = \frac{3AH}{BH} = \frac{3(BH \cdot \tan(\alpha))}{BH} = 3\tan(\alpha)$.

Мы получили тригонометрическое уравнение $\tan(2\alpha) = 3\tan(\alpha)$. Решим его, используя формулу тангенса двойного угла $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$:

$\frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = 3\tan(\alpha)$.

Поскольку $\alpha$ — угол, образованный высотой и медианой, он не равен нулю, значит $\tan(\alpha) \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\tan(\alpha)$:

$\frac{2}{1 - \tan^2(\alpha)} = 3$

$2 = 3(1 - \tan^2(\alpha))$

$2 = 3 - 3\tan^2(\alpha)$

$3\tan^2(\alpha) = 1$

$\tan^2(\alpha) = \frac{1}{3}$.

Так как $\alpha$ — острый угол, его тангенс положителен: $\tan(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Единственный острый угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle ABC$:

$\angle ABC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Случай 2: Порядок точек на прямой $AC$ следующий: $A-M-H-C$.

В этом случае деление угла $\angle ABC$ на три равных части означает, что $\angle ABM = \angle MBH = \angle HBC = \alpha$.

Проводя аналогичные рассуждения, мы снова приходим к уравнению $\tan(2\alpha) = 3\tan(\alpha)$, которое дает $\alpha = 30^\circ$ и, соответственно, $\angle ABC = 3\alpha = 90^\circ$.

В обоих возможных случаях мы приходим к выводу, что угол $\angle ABC$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что $\angle ABC = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.