Номер 31, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

31. а) Боковая сторона равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равна $a$, угол при основании равен $\alpha$ (рис. 36). Найдите площадь треугольника $ABC$.

б) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ ($a > b$) и углом $\alpha$ при большем основании (рис. 37). Найдите площадь трапеции.

Рис. 36

Рис. 37

а)

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $ABC$ воспользуемся известными данными: боковая сторона $AB = BC = a$ и угол при основании $\angle C = \alpha$. Поскольку треугольник равнобедренный, угол при другом основании также равен $\alpha$, т.е. $\angle A = \alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: "половина произведения двух сторон на синус угла между ними".

Возьмем стороны $AB$ и $BC$. Угол между ними $\angle B$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Подставим значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$.

По формуле приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Следовательно, $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.

Окончательная формула для площади:

$S = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$.

Другой способ решения — через основание и высоту. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем:

Высота $BH = BC \cdot \sin(\angle C) = a \sin \alpha$.

Катет $HC = BC \cdot \cos(\angle C) = a \cos \alpha$.

Так как $BH$ — медиана, то основание $AC = 2 \cdot HC = 2a \cos \alpha$.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2a \cos \alpha) \cdot (a \sin \alpha) = a^2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, мы можем переписать выражение для площади:

$S = a^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$.

Результаты обоих методов совпадают.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$

б)

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ ($a > b$) и углом при большем основании $\angle A = \alpha$. Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} h$, где $h$ — высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $ABH$.

В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины до большего основания, равен полуразности оснований. Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a - b}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ (высота трапеции) связан с катетом $AH$ и углом $\alpha$ через тангенс:

$\tan \alpha = \frac{BH}{AH} = \frac{h}{AH}$.

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = AH \cdot \tan \alpha = \frac{a-b}{2} \tan \alpha$.

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a-b}{2} \tan \alpha$.

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$S = \frac{(a+b)(a-b)}{4} \tan \alpha = \frac{a^2 - b^2}{4} \tan \alpha$.

Ответ: $S = \frac{a^2 - b^2}{4} \tan \alpha$