Номер 34, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

34. Дан острый угол $ \alpha $.

а) Найдите $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $.

б) Найдите $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{5}{13} $.

в) Найдите $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 2 $.

г) Найдите $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3} $.

а) Для нахождения $ \cos\alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из него $ \cos^2\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $
Отсюда $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $ или $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.
Так как по условию угол $ \alpha $ острый (находится в первой четверти), его косинус положителен. Следовательно, $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

б) Для нахождения $ \sin\alpha $ также воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из него $ \sin^2\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $
Подставим известное значение $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} $
Отсюда $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $ или $ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $.
Так как по условию угол $ \alpha $ острый, его синус положителен. Следовательно, $ \sin\alpha = \frac{12}{13} $.
Ответ: $ \frac{12}{13} $.

в) Тангенс и котангенс одного и того же угла связаны соотношением: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $.
Выразим отсюда $ \text{ctg}\alpha $:
$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $
Подставим известное значение $ \text{tg}\alpha = 2 $:
$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Используем то же соотношение, что и в предыдущем пункте: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $.
Выразим отсюда $ \text{tg}\alpha $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} $
Подставим известное значение $ \text{ctg}\alpha = \sqrt{3} $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.