Номер 37, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

37. Найдите:

а) синус, тангенс и котангенс острого угла, косинус которого равен 0,6;

б) косинус, тангенс и котангенс острого угла, синус которого равен $\frac{7}{25}$;

а) Дано, что косинус острого угла $\alpha$ равен 0,6, то есть $\cos\alpha = 0,6$.
1. Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Поскольку угол $\alpha$ является острым, его синус положителен: $\sin\alpha > 0$.
Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{0,64} = 0,8$.
2. Тангенс угла найдем по определению $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\tan\alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. Котангенс угла найдем как величину, обратную тангенсу: $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$.
$\cot\alpha = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = 0,8$; $\tan\alpha = \frac{4}{3}$; $\cot\alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано, что синус острого угла $\alpha$ равен $\frac{7}{25}$, то есть $\sin\alpha = \frac{7}{25}$.
1. Для нахождения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Поскольку угол $\alpha$ является острым, его косинус положителен: $\cos\alpha > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
2. Тангенс угла найдем по определению $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\tan\alpha = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{25} \cdot \frac{25}{24} = \frac{7}{24}$.
3. Котангенс угла найдем как величину, обратную тангенсу: $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$.
$\cot\alpha = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $\cos\alpha = \frac{24}{25}$; $\tan\alpha = \frac{7}{24}$; $\cot\alpha = \frac{24}{7}$.