Номер 39, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

39. Сравните величины острых углов $\alpha$ и $\beta$, если:

a) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$; $\sin \beta = \frac{1}{4}$;

б) $\cos \alpha = \frac{3}{5}$; $\cos \beta = \frac{2}{5}$.

а)

Для сравнения острых углов $\alpha$ и $\beta$, зная значения их синусов $sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $sin\beta = \frac{1}{4}$, нужно вспомнить свойство функции синуса. Для острых углов (от 0° до 90°) функция синус является возрастающей. Это означает, что чем больше угол, тем больше его синус. Следовательно, чтобы сравнить углы, нам нужно сравнить значения их синусов.

Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 12:

$sin\alpha = \frac{1}{3} = \frac{4}{12}$

$sin\beta = \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Так как $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $sin\alpha > sin\beta$.

Поскольку для острых углов большему значению синуса соответствует больший угол, мы можем заключить, что $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.

б)

Для сравнения острых углов $\alpha$ и $\beta$, зная значения их косинусов $cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $cos\beta = \frac{2}{5}$, нужно вспомнить свойство функции косинуса. Для острых углов (от 0° до 90°) функция косинус является убывающей. Это означает, что чем больше угол, тем меньше его косинус. Следовательно, чтобы сравнить углы, нам нужно сравнить значения их косинусов.

Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{5}$. Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравним их числители.

Поскольку $3 > 2$, то $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.

Следовательно, $cos\alpha > cos\beta$.

Поскольку для острых углов большему значению косинуса соответствует меньший угол, мы можем заключить, что $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.