Номер 28, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

28. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основания $BC = 4$ см и $AD = 10$ см.

Известно, что $\text{tg}A = \frac{2}{3}$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота.

По условию задачи, мы имеем равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC = 4$ см и $AD = 10$ см. Чтобы найти площадь, нам нужно определить высоту трапеции.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Длину отрезка $AH$ можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения длин оснований:

$AH = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Катет $BH$ является высотой трапеции $h$, а катет $AH$ мы только что нашли. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\tg A = \frac{BH}{AH}$

Нам дано, что $\tg A = \frac{2}{3}$, и мы вычислили, что $AH = 3$ см. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{2}{3} = \frac{BH}{3}$

Отсюда находим высоту $BH$:

$BH = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{10 + 4}{2} \cdot 2 = \frac{14}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14$ см².

Ответ: 14 см².