номер 23, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

23. Дан прямоугольный треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 4$, $\angle B = \beta$. Найдите:

а) катет $BC$;

б) гипотенузу $AB$;

в) $S_{ABC}$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle C = 90^\circ $). Известны длина катета $AC = 4$ и величина острого угла $ \angle B = \beta $.

а) катет ВС

В прямоугольном треугольнике отношение прилежащего к углу катета к противолежащему катету равно котангенсу этого угла. Для угла $B$ катет $BC$ является прилежащим, а катет $AC$ — противолежащим.

Следовательно, $ \cot(\angle B) = \frac{BC}{AC} $.

Подставим известные значения в формулу:

$ \cot\beta = \frac{BC}{4} $.

Выразим отсюда катет $BC$:

$ BC = 4 \cot\beta $.

Ответ: $BC = 4 \cot\beta$.

б) гипотенузу АВ

В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла. Для угла $B$ катет $AC$ является противолежащим.

Следовательно, $ \sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} $.

Подставим известные значения:

$ \sin\beta = \frac{4}{AB} $.

Выразим отсюда гипотенузу $AB$:

$ AB = \frac{4}{\sin\beta} $.

Ответ: $AB = \frac{4}{\sin\beta}$.

в) S_ABC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC $.

Мы знаем, что $AC=4$, а из пункта (а) нашли, что $BC = 4 \cot\beta$. Подставим эти значения в формулу площади:

$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (4 \cot\beta) $.

Упростим выражение:

$ S_{ABC} = 2 \cdot 4 \cot\beta = 8 \cot\beta $.

Ответ: $S_{ABC} = 8 \cot\beta$.