Номер 19, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

19. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ — острые углы одного прямоугольного треугольника, то:

a) $\sin \alpha + \sin \beta < 2$;

б) $\sin \alpha + \sin \beta > 1$.

По условию, $\alpha$ и $\beta$ — острые углы одного прямоугольного треугольника. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Так как один из углов прямой ($90^\circ$), то сумма двух острых углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, мы имеем ключевое соотношение: $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Также, поскольку углы острые, выполняются неравенства: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$.

а)
Для любого острого угла $\gamma$ (т.е. $0^\circ < \gamma < 90^\circ$) значение его синуса находится в интервале $0 < \sin\gamma < 1$.
Поскольку $\alpha$ и $\beta$ являются острыми углами, для них верны следующие строгие неравенства:
$\sin\alpha < 1$
$\sin\beta < 1$
Сложим эти два неравенства почленно:
$\sin\alpha + \sin\beta < 1 + 1$
$\sin\alpha + \sin\beta < 2$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б)
Для доказательства этого неравенства воспользуемся формулой суммы синусов и известным нам соотношением $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Формула суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
Подставим в нее значение суммы углов $\alpha + \beta = 90^\circ$:
$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\frac{90^\circ}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) = 2\sin(45^\circ)\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:
$\sin\alpha + \sin\beta = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) = \sqrt{2}\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
Теперь оценим значение $\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$, то разность $\alpha - \beta$ находится в интервале $-90^\circ < \alpha - \beta < 90^\circ$.
Следовательно, $\frac{\alpha-\beta}{2}$ находится в интервале $-45^\circ < \frac{\alpha-\beta}{2} < 45^\circ$.
В этом интервале косинус является положительной и убывающей функцией от абсолютного значения угла. Его наименьшее значение достигается на границах интервала, т.е. при углах $\pm45^\circ$, и равно $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку наши углы $\alpha$ и $\beta$ строго больше 0 и строго меньше $90^\circ$, то $\frac{\alpha-\beta}{2}$ не может быть равен $\pm45^\circ$.
Таким образом, для аргумента $\frac{\alpha-\beta}{2}$ выполняется строгое неравенство:
$\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь мы можем вернуться к нашему выражению для суммы синусов:
$\sin\alpha + \sin\beta = \sqrt{2}\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Итак, мы доказали, что $\sin\alpha + \sin\beta > 1$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.