Номер 17, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

17. Какие из следующих чисел не могут быть значениями синуса острого угла: $2$; $\frac{15}{17}$; $-\frac{1}{2}$; $\sqrt{2}$; $0,75$; $\sqrt{3}-1$?

Для решения этой задачи необходимо знать, какие значения может принимать синус острого угла. Острый угол α — это угол, который удовлетворяет условию $0^\circ < α < 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Так как длина катета всегда положительна и строго меньше длины гипотенузы, значение синуса острого угла всегда находится в интервале (0; 1). То есть, для синуса острого угла x должно выполняться строгое неравенство $0 < x < 1$. Теперь проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этому условию.

2

Число 2 больше 1. Это не удовлетворяет условию $0 < x < 1$. Следовательно, 2 не может быть значением синуса острого угла.

$\frac{15}{17}$

Это правильная дробь, так как ее числитель (15) меньше знаменателя (17). Значит, ее значение находится между 0 и 1: $0 < \frac{15}{17} < 1$. Следовательно, это число может быть значением синуса острого угла.

$-\frac{1}{2}$

Это число отрицательное. Синус острого угла (в первой координатной четверти) всегда положителен. Следовательно, $-\frac{1}{2}$ не может быть значением синуса острого угла.

$\sqrt{2}$

Значение корня из двух больше единицы: $\sqrt{2} \approx 1,414 > 1$. Это не удовлетворяет условию $0 < x < 1$. Следовательно, $\sqrt{2}$ не может быть значением синуса острого угла.

0,75

Это число находится в интервале (0; 1), так как $0 < 0,75 < 1$. Следовательно, 0,75 может быть значением синуса острого угла.

$\sqrt{3} - 1$

Оценим значение этого выражения. Мы знаем, что $1 < 3 < 4$, следовательно, $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что равносильно $1 < \sqrt{3} < 2$. Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства: $1-1 < \sqrt{3}-1 < 2-1$, то есть $0 < \sqrt{3}-1 < 1$. Так как значение этого выражения находится в интервале (0; 1), оно может быть значением синуса острого угла.

Ответ: 2; $-\frac{1}{2}$; $\sqrt{2}$.