Номер 11, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

11. Угол $ \alpha $ — острый. Найдите:

а) угол $ \alpha $, $ \sin \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $;

б) угол $ \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

в) угол $ \alpha $, $ \sin \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3} $;

г) угол $ \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \sin \alpha = 0,5 $.

а) Дано, что $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ и угол $\alpha$ — острый.
1. Найдём угол $\alpha$. Из таблицы значений тригонометрических функций для острых углов известно, что если $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, то $\alpha = 60^\circ$.
2. Найдём $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как угол $\alpha$ острый, $\sin\alpha$ должен быть положительным. Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Найдём $\tan\alpha$ по определению: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$.
Ответ: $\alpha = 60^\circ$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\alpha = \sqrt{3}$.

б) Дано, что $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\alpha$ — острый.
1. Найдём угол $\alpha$. Острый угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ$.
2. Найдём $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Так как угол $\alpha$ острый, $\cos\alpha$ положителен. Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдём $\cot\alpha$ по определению: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\cot\alpha = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$.
Ответ: $\alpha = 45^\circ$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cot\alpha = 1$.

в) Дано, что $\cot\alpha = \sqrt{3}$ и угол $\alpha$ — острый.
1. Найдём угол $\alpha$. Острый угол, котангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $30^\circ$. Таким образом, $\alpha = 30^\circ$.
2. Найдём $\sin\alpha$, используя тождество $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$1 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha} \implies 1 + 3 = \frac{1}{\sin^2\alpha} \implies 4 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Отсюда $\sin^2\alpha = \frac{1}{4}$. Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\sin\alpha$ положителен: $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
3. Найдём $\tan\alpha$, зная, что $\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha}$.
$\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\alpha = 30^\circ$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$, $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Дано, что $\sin\alpha = 0,5$ и угол $\alpha$ — острый. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$.
1. Найдём угол $\alpha$. Острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. Таким образом, $\alpha = 30^\circ$.
2. Найдём $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как угол $\alpha$ острый, $\cos\alpha$ положителен. Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Найдём $\cot\alpha$ по определению: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\cot\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$.
Ответ: $\alpha = 30^\circ$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cot\alpha = \sqrt{3}$.