Номер 8, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

8. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ (рис. 18), $AB = BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$, $BH$ — высота. Вычислите:

а) синус угла $\angle BAC$;

б) косинус угла $\angle ACB$;

в) тангенс угла $\angle CBH$;

г) высоту $AK$ и синус угла $\angle ABK$.

а) синус угла BAC;

Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, высота $BH$, проведенная к основанию, также является медианой. Это означает, что она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $\angle AHB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$ (катета):
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В треугольнике $ABH$ для угла $BAC$ (он же $\angle BAH$):
$sin(\angle BAC) = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = 0.8$.

Ответ: 0.8

б) косинус угла ACB;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ ($\angle BHC = 90^\circ$). Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $ACB$ (он же $\angle BCH$) прилежащим катетом является $HC$, а гипотенузой — $BC$.
$cos(\angle ACB) = \frac{HC}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: 0.6

в) тангенс угла CBH;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $CBH$ противолежащим катетом является $HC$, а прилежащим — $BH$.
Используя найденные ранее значения $HC = 6$ см и $BH = 8$ см, получаем:
$tan(\angle CBH) = \frac{HC}{BH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: 0.75

г) высоту AK и синус угла ABK.

Для нахождения высоты $AK$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить, зная основание $AC$ и высоту $BH$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Площадь того же треугольника можно выразить через сторону $BC$ и проведенную к ней высоту $AK$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $AK$:
$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AK$
$48 = 5 \cdot AK$
$AK = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

Теперь найдем синус угла $ABK$. Так как $AK$ — высота, опущенная на сторону $BC$, то треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB = 90^\circ$). В этом треугольнике синус угла $ABK$ равен отношению противолежащего катета $AK$ к гипотенузе $AB$.
$sin(\angle ABK) = \frac{AK}{AB} = \frac{9.6}{10} = 0.96$.

Ответ: высота $AK = 9.6$ см, $sin(\angle ABK) = 0.96$.