Номер 16, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

16. Окружность с центром $O$ касается катета $AC$ и проходит через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $BC = 6$, $AC = 8$; точка $O$ лежит на гипотенузе $AB$ (рис. 20). Найдите радиус этой окружности, используя определение синуса острого угла.

По условию, дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $BC = 6$ и $AC = 8$. Угол $C$ прямой.

Для начала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Пусть $R$ — искомый радиус окружности. Центр окружности $O$ лежит на гипотенузе $AB$. Так как окружность проходит через точку $B$, то отрезок $OB$ является радиусом, то есть $OB = R$.

Окружность касается катета $AC$. Обозначим точку касания как $D$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OD \perp AC$. Длина этого радиуса также равна $R$, то есть $OD = R$.

В задаче требуется использовать определение синуса острого угла. Найдем синус угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $OD \perp AC$, этот треугольник также является прямоугольным. В нем $OD$ — катет, противолежащий углу $A$, а $AO$ — гипотенуза. Выразим синус угла $A$ через стороны этого треугольника:

$\sin(\angle A) = \frac{OD}{AO}$.

Поскольку угол $A$ общий для треугольников $ABC$ и $AOD$, мы можем приравнять выражения для его синуса:

$\frac{OD}{AO} = \frac{3}{5}$.

Подставим $OD=R$:

$\frac{R}{AO} = \frac{3}{5}$.

Отсюда выразим длину отрезка $AO$:

$AO = \frac{5R}{3}$.

Точка $O$ лежит на отрезке $AB$, следовательно, $AB = AO + OB$. Подставим в это равенство все известные значения и выражения через $R$:

$10 = \frac{5R}{3} + R$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $R$:

$10 = \frac{5R}{3} + \frac{3R}{3}$

$10 = \frac{8R}{3}$

$8R = 30$

$R = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75$.

Ответ: $3.75$.