Номер 20, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

20. a) Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, косинус угла при основании равен 0,6. Найдите площадь треугольника.

б) Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, синус противолежащего основанию острого угла равен $\frac{3}{5}$. Найдите площадь треугольника.

а) Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$, а основание — $b$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех сторон: $P = 2a + b$.

По условию, периметр равен 64 см, следовательно, мы имеем первое уравнение: $2a + b = 64$.

Пусть угол при основании равен $\alpha$. По условию, $\cos(\alpha) = 0,6$. Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $b/2$. Рассматривая один из двух получившихся прямоугольных треугольников, мы видим, что боковая сторона $a$ является гипотенузой, а отрезок $b/2$ — прилежащим катетом к углу $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos(\alpha) = \frac{b/2}{a} = \frac{b}{2a}$.

Подставим известное значение косинуса:

$0,6 = \frac{b}{2a}$, откуда получаем второе уравнение: $b = 1,2a$.

Теперь решим систему из двух уравнений:

$2a + 1,2a = 64$

$3,2a = 64$

$a = \frac{64}{3,2} = 20$ см.

Найдем длину основания:

$b = 1,2 \cdot 20 = 24$ см.

Для нахождения площади треугольника по формуле $S = \frac{1}{2}bh$ нам необходимо найти высоту $h$. Высоту можно найти из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h^2 + (b/2)^2 = a^2$.

$h^2 + (\frac{24}{2})^2 = 20^2$

$h^2 + 12^2 = 20^2$

$h^2 + 144 = 400$

$h^2 = 400 - 144 = 256$

$h = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 12 \cdot 16 = 192$ см$^2$.

Ответ: $192$ см$^2$.

б) Пусть в равнобедренном треугольнике основание $b = 10$ см, а угол, противолежащий основанию, равен $\gamma$. По условию, $\sin(\gamma) = \frac{3}{5}$, и угол $\gamma$ является острым.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}bh$, где $h$ — высота, проведенная к основанию.

Проведем высоту $h$ из вершины, противолежащей основанию. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит основание на два равных отрезка длиной $b/2 = 10/2 = 5$ см и угол $\gamma$ на два равных угла $\gamma/2$.

Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Его катеты равны $h$ и $5$ см. Угол, противолежащий катету длиной 5 см, равен $\gamma/2$. По определению тангенса:

$\tan(\frac{\gamma}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{5}{h}$.

Чтобы найти $h$, нам нужно вычислить $\tan(\frac{\gamma}{2})$. Мы знаем $\sin(\gamma) = \frac{3}{5}$ и то, что $\gamma$ — острый угол. Для острого угла косинус положителен. Найдем его по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$:

$\cos(\gamma) = \sqrt{1 - \sin^2(\gamma)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь используем формулу тангенса половинного угла:

$\tan(\frac{\gamma}{2}) = \frac{\sin(\gamma)}{1+\cos(\gamma)} = \frac{3/5}{1+4/5} = \frac{3/5}{9/5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Вернемся к выражению для высоты:

$h = \frac{5}{\tan(\gamma/2)} = \frac{5}{1/3} = 15$ см.

Теперь, зная основание и высоту, можем найти площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 5 \cdot 15 = 75$ см$^2$.

Ответ: $75$ см$^2$.