Номер 26, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

26. По данным на рисунках 35, а)—г) найдите сторону $x$ и площадь $S$:

а) прямоугольника;

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;

в) квадрата;

г) равностороннего треугольника.

а) $60^\circ$, $x$, $6$

б) $45^\circ$, $8\sqrt{2}$, $x$

в) $6$, $x$

г) $x$, $3$

Puc. 35

а) прямоугольника;
Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Его катетами являются стороны прямоугольника — $x$ и $6$. Угол, образованный диагональю и стороной $x$, равен $60°$. В этом прямоугольном треугольнике катет, равный $6$, является противолежащим к углу $60°$, а катет $x$ — прилежащим.
Используем определение тангенса угла:

$ \tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{6}{x} $
Поскольку $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, получаем уравнение:

$ \sqrt{3} = \frac{6}{x} $
Выразим $x$:

$ x = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $
Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон:

$ S = 6 \cdot x = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} $
Ответ: $x = 2\sqrt{3}$, $S = 12\sqrt{3}$.

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Данный треугольник прямоугольный, один из его острых углов равен $45°$. Следовательно, второй острый угол также равен $180° - 90° - 45° = 45°$. Поскольку два угла равны, треугольник является равнобедренным. Его катеты равны между собой. Обозначим их как $x$.
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$ x^2 + x^2 = (8\sqrt{2})^2 $
$ 2x^2 = 64 \cdot 2 $
$ 2x^2 = 128 $
$ x^2 = 64 $
$ x = 8 $ (длина стороны положительна).
Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:

$ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 $
Ответ: $x = 8$, $S = 32$.

в) квадрата;
Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника, катетами которых являются стороны квадрата $x$, а гипотенузой — диагональ $6$.
По теореме Пифагора:

$ x^2 + x^2 = 6^2 $
$ 2x^2 = 36 $
$ x^2 = 18 $
$ x = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $
Площадь квадрата $S$ равна квадрату его стороны, то есть $S = x^2$.

$ S = 18 $
Ответ: $x = 3\sqrt{2}$, $S = 18$.

г) равностороннего треугольника.
В равностороннем треугольнике все стороны равны $x$. Высота $h=3$ делит его на два равных прямоугольных треугольника. В таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $x$, один катет — это высота $h=3$, а второй катет — половина основания, то есть $\frac{x}{2}$.
Применим теорему Пифагора:

$ h^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2 $
$ 3^2 + \frac{x^2}{4} = x^2 $
$ 9 = x^2 - \frac{x^2}{4} $
$ 9 = \frac{3x^2}{4} $
$ x^2 = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12 $
$ x = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $
Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h $
$ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3} $
Ответ: $x = 2\sqrt{3}$, $S = 3\sqrt{3}$.