Номер 44, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

44. Точки $M_1, M_2, ..., M_8$ получаются при повороте радиуса $OM$ единичной полуокружности вокруг точки $O$ против часовой стрелки соответственно на углы $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$ (рис. 53).

$y$

$1$

$M_4(90^\circ)$

$M_5(120^\circ)$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$M_3(60^\circ)$

$M_6(135^\circ)$

$\frac{1}{2}$

$M_2(45^\circ)$

$M_7(150^\circ)$

$M_1(30^\circ)$

$M_8(180^\circ)$

$M(0^\circ)$

$-1$

$-\frac{1}{2}$

$O$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$x$

Puc. 53

а) Используя рисунок, найдите координаты точек $M, M_1, M_2, ..., M_8$.

б) По координатам соответствующих точек найдите $\sin 135^\circ$, $\cos 120^\circ$, $\tan 150^\circ$.

в) Найдите $\sin 0^\circ$, $\cos 0^\circ$, $\sin 90^\circ$, $\cos 90^\circ$.

а)

Координаты точки на единичной окружности, соответствующей углу поворота $\alpha$, равны $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Используя данные с рисунка, где показана единичная полуокружность, определим координаты каждой точки. Абсцисса (x) и ордината (y) точки находятся как проекции на соответствующие оси.

$M(0°)$: Точка находится на оси $x$ в положительном направлении, на расстоянии радиуса (1) от начала координат. Координаты: $(1, 0)$.

$M_1(30°)$: Проекции на оси $x$ и $y$ равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ соответственно. Координаты: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

$M_2(45°)$: Проекции на оси $x$ и $y$ равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответственно. Координаты: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

$M_3(60°)$: Проекции на оси $x$ и $y$ равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответственно. Координаты: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

$M_4(90°)$: Точка находится на оси $y$ в положительном направлении на расстоянии радиуса (1). Координаты: $(0, 1)$.

$M_5(120°)$: Проекции на оси $x$ и $y$ равны $-\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответственно. Координаты: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

$M_6(135°)$: Точка симметрична $M_2(45°)$ относительно оси $y$. Координаты: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

$M_7(150°)$: Точка симметрична $M_1(30°)$ относительно оси $y$. Координаты: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

$M_8(180°)$: Точка находится на оси $x$ в отрицательном направлении на расстоянии радиуса (1). Координаты: $(-1, 0)$.

Ответ: $M(1, 0)$, $M_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $M_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $M_3(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $M_4(0, 1)$, $M_5(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $M_6(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $M_7(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $M_8(-1, 0)$.

б)

По определению, для точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее абсцисса равна $\cos\alpha$, а ордината — $\sin\alpha$. Тангенс угла вычисляется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Углу $135°$ соответствует точка $M_6$ с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Ордината этой точки равна $\sin 135°$.
$\sin 135° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Углу $120°$ соответствует точка $M_5$ с координатами $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Абсцисса этой точки равна $\cos 120°$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$.

Углу $150°$ соответствует точка $M_7$ с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Для нахождения тангенса используем обе координаты:
$\sin 150° = \frac{1}{2}$ и $\cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} 150° = \frac{\sin 150°}{\cos 150°} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\sin 135° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 120° = -\frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} 150° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в)

Для нахождения значений тригонометрических функций для углов $0°$ и $90°$ воспользуемся координатами соответствующих точек $M(0°)$ и $M_4(90°)$.

Точка $M(0°)$ имеет координаты $(1, 0)$. Отсюда:
$\sin 0° = 0$ (ордината)
$\cos 0° = 1$ (абсцисса)

Точка $M_4(90°)$ имеет координаты $(0, 1)$. Отсюда:
$\sin 90° = 1$ (ордината)
$\cos 90° = 0$ (абсцисса)

Ответ: $\sin 0° = 0$, $\cos 0° = 1$, $\sin 90° = 1$, $\cos 90° = 0$.