Номер 50, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

50. а) Косинус одного из смежных углов равен -0,3. Найдите косинус другого угла.

б) Синус тупого угла параллелограмма равен 0,8. Найдите тангенс острого угла параллелограмма.

а) Пусть даны два смежных угла, $\alpha$ и $\beta$. По определению смежных углов, их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. По условию, косинус одного из этих углов равен $-0,3$. Пусть это будет угол $\alpha$, тогда $\cos \alpha = -0,3$. Нам нужно найти косинус другого угла, $\cos \beta$.
Выразим угол $\beta$ через $\alpha$: $\beta = 180^\circ - \alpha$.
Воспользуемся формулой приведения для косинуса, которая гласит: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Подставив известное значение, получим:
$\cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -(-0,3) = 0,3$.
Ответ: 0,3.

б) Пусть $\alpha$ — тупой угол параллелограмма, а $\beta$ — острый угол, прилежащий к той же стороне. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 180^\circ$.
По условию, синус тупого угла $\alpha$ равен 0,8: $\sin \alpha = 0,8$. Нам нужно найти тангенс острого угла $\beta$, то есть $\tan \beta$.
Сначала найдем синус и косинус острого угла $\beta$.
Используя формулу приведения для синуса смежных углов, получаем: $\sin \beta = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha = 0,8$.
Теперь найдем $\cos \beta$ с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.
$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Поскольку $\beta$ — острый угол ($0^\circ < \beta < 90^\circ$), его косинус должен быть положительным. Таким образом, $\cos \beta = \sqrt{0,36} = 0,6$.
Тангенс угла равен отношению его синуса к косинусу: $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.
Подставим найденные значения:
$\tan \beta = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.