Номер 52, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

52. Используя единичную полуокружность, докажите, что:

а) при увеличении угла от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ его синус увеличивается от $0$ до $1$, косинус уменьшается от $1$ до $0$;

б) при увеличении угла от $90^{\circ}$ до $180^{\circ}$ его синус уменьшается от $1$ до $0$, косинус уменьшается от $0$ до $-1$.

Рассмотрим единичную полуокружность в декартовой системе координат. Это полуокружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1, расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Для любого угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, соответствующая точка $M$ на этой полуокружности имеет координаты $(x, y)$, где по определению $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

а) при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, косинус уменьшается от 1 до 0;

Когда угол $\alpha$ увеличивается от $0^\circ$ до $90^\circ$, точка $M$ движется по дуге полуокружности в первой координатной четверти от точки $A(1, 0)$ до точки $B(0, 1)$.

При $\alpha = 0^\circ$ точка $M$ находится в положении $A(1, 0)$. Ее координаты: $x=1, y=0$. Следовательно, $\cos 0^\circ = 1$ и $\sin 0^\circ = 0$.

При $\alpha = 90^\circ$ точка $M$ находится в положении $B(0, 1)$. Ее координаты: $x=0, y=1$. Следовательно, $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.

При движении точки $M$ от $A$ к $B$ ее ордината (координата $y$) плавно возрастает от 0 до 1. Поскольку $y = \sin \alpha$, то синус угла $\alpha$ увеличивается от 0 до 1.

Одновременно абсцисса точки $M$ (координата $x$) плавно убывает от 1 до 0. Поскольку $x = \cos \alpha$, то косинус угла $\alpha$ уменьшается от 1 до 0.

Ответ: При увеличении угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$ точка на единичной полуокружности $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$ движется из точки $(1, 0)$ в точку $(0, 1)$. Это означает, что ее ордината ($\sin \alpha$) увеличивается от 0 до 1, а абсцисса ($\cos \alpha$) уменьшается от 1 до 0, что и требовалось доказать.

б) при увеличении угла от 90° до 180° его синус уменьшается от 1 до 0, косинус уменьшается от 0 до -1.

Когда угол $\alpha$ увеличивается от $90^\circ$ до $180^\circ$, точка $M$ движется по дуге полуокружности во второй координатной четверти от точки $B(0, 1)$ до точки $C(-1, 0)$.

При $\alpha = 90^\circ$ точка $M$ находится в положении $B(0, 1)$. Ее координаты: $x=0, y=1$. Следовательно, $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.

При $\alpha = 180^\circ$ точка $M$ находится в положении $C(-1, 0)$. Ее координаты: $x=-1, y=0$. Следовательно, $\cos 180^\circ = -1$ и $\sin 180^\circ = 0$.

При движении точки $M$ от $B$ к $C$ ее ордината (координата $y$) плавно убывает от 1 до 0. Поскольку $y = \sin \alpha$, то синус угла $\alpha$ уменьшается от 1 до 0.

Одновременно абсцисса точки $M$ (координата $x$) плавно убывает от 0 до -1. Поскольку $x = \cos \alpha$, то косинус угла $\alpha$ уменьшается от 0 до -1.

Ответ: При увеличении угла $\alpha$ от $90^\circ$ до $180^\circ$ точка на единичной полуокружности $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$ движется из точки $(0, 1)$ в точку $(-1, 0)$. Это означает, что ее ордината ($\sin \alpha$) уменьшается от 1 до 0, а абсцисса ($\cos \alpha$) уменьшается от 0 до -1, что и требовалось доказать.