Номер 56, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

56. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если:

а) $AB = 4,2 \text{ см}$, $AD = 6 \text{ см}$, $\sin C = \frac{2}{3}$;

б) $P_{ABCD} = 48 \text{ см}$, $BC = 13 \text{ см}$, $\cos B = -\frac{12}{13}$.

а) Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = 4,2$ см и $BC = AD = 6$ см. Стороны, смежные с углом $C$, — это $BC$ и $CD$. Таким образом, площадь можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin C$.

Подставим известные значения:

$S_{ABCD} = 6 \cdot 4,2 \cdot \frac{2}{3}$.

$S_{ABCD} = (6 \cdot \frac{2}{3}) \cdot 4,2 = 4 \cdot 4,2 = 16,8$ см$^2$.

Ответ: $16,8 \text{ см}^2$.

б) Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон: $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$.

Известно, что $P_{ABCD} = 48$ см и $BC = 13$ см. Найдем длину стороны $AB$:

$48 = 2(AB + 13)$.

$24 = AB + 13$.

$AB = 24 - 13 = 11$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin B$.

Нам дан $\cos B = -\frac{12}{13}$. Найдем $\sin B$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$.

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Поскольку угол $B$ является углом параллелограмма, его значение лежит в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, а в этом диапазоне синус угла всегда положителен ($\sin B > 0$).

Следовательно, $\sin B = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь вычислим площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin B = 11 \cdot 13 \cdot \frac{5}{13} = 11 \cdot 5 = 55$ см$^2$.

Ответ: $55 \text{ см}^2$.