Номер 60, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

60. У ромба ABCD $AB = a$, $\angle A = \alpha$. Докажите, что $S_{ABCD} = a^2 \sin \alpha$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. В условии задачи дан ромб ABCD со стороной AB = a. Это означает, что все его стороны равны a: AB = BC = CD = DA = a.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними. Так как ромб является частным случаем параллелограмма, для него справедлива та же формула.

Общая формула площади параллелограмма: $S = s_1 \cdot s_2 \cdot \sin(\beta)$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\beta$ — угол между ними.

Для ромба ABCD возьмем смежные стороны AB и AD и угол между ними $\angle A$. Из условия задачи и свойств ромба нам известны следующие величины:

длина стороны $AB = a$;

длина смежной ей стороны $AD = a$;

угол между ними $\angle A = \alpha$.

Теперь подставим эти значения в формулу площади:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)$

$S_{ABCD} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha)$

$S_{ABCD} = a^2 \sin(\alpha)$

Таким образом, было доказано, что площадь ромба ABCD действительно равна $a^2 \sin(\alpha)$.

Ответ: Требуемое равенство $S_{ABCD} = a^2 \sin(\alpha)$ доказано.