Номер 64, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

64. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. По данным на рисунках 67, а)—в) найдите длину отрезка $x$.

а) б) в) Рис. 67

а)

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу. В данном случае, CH — высота, AH и BH — проекции катетов.
Формула выглядит так: $CH^2 = AH \cdot BH$.
Подставим известные значения из рисунка: x это CH, AH = 9, BH = 25.
$x^2 = 9 \cdot 25$
$x^2 = 225$
$x = \sqrt{225}$
$x = 15$
Ответ: 15

б)

Используем то же свойство высоты в прямоугольном треугольнике, что и в пункте а): квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
$CH^2 = AH \cdot BH$
По данным рисунка: x это CH, $AH = \sqrt{2}$, $BH = 2\sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$x^2 = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$
$x^2 = 2 \cdot (\sqrt{2})^2$
$x^2 = 2 \cdot 2 = 4$
$x = \sqrt{4}$
$x = 2$
Ответ: 2

в)

В этом случае x — это катет AC. Нам известны высота CH = 4 и проекция другого катета BH = 2.
Сначала найдем длину отрезка AH, используя свойство высоты, проведенной к гипотенузе: $CH^2 = AH \cdot BH$.
$4^2 = AH \cdot 2$
$16 = 2 \cdot AH$
$AH = \frac{16}{2} = 8$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (угол H прямой). Катеты в нем — AH и CH, а гипотенуза — AC (которая равна x). По теореме Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
Подставляем найденные и данные значения:
$x^2 = 8^2 + 4^2$
$x^2 = 64 + 16$
$x^2 = 80$
$x = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$
Ответ: $4\sqrt{5}$