Номер 68, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

68. Дан прямоугольник $ABCD$. Перпендикуляр $BK$, опущенный на диагональ $AC$, делит ее на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Перпендикуляр BK, опущенный из вершины B на диагональ AC, делит ее на отрезки AK и KC. По условию, длины этих отрезков равны 2 см и 6 см.

Рассмотрим треугольник ΔABC. Так как ABCD — прямоугольник, то угол ∠ABC = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC является прямоугольным, а его катетами являются стороны прямоугольника AB и BC.

Диагональ AC является гипотенузой этого треугольника. Ее длина равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота BK:
$AC = 2 + 6 = 8$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Отрезки AK и KC — это проекции катетов AB и BC на гипотенузу AC.

Таким образом, мы можем записать следующие соотношения:
$AB^2 = AC \cdot AK$
$BC^2 = AC \cdot KC$

Неважно, какой из отрезков (2 см или 6 см) является проекцией какой стороны, так как в итоге мы получим длины обеих сторон. Пусть $AK = 2$ см, а $KC = 6$ см. Тогда:

$AB^2 = 8 \cdot 2 = 16$ см²
$AB = \sqrt{16} = 4$ см

$BC^2 = 8 \cdot 6 = 48$ см²
$BC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см

Стороны прямоугольника равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см. Чтобы найти меньшую сторону, сравним эти два значения. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $4\sqrt{3} > 4$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 4 см.

Ответ: 4 см.